En teoria de nombres, un nombre de Liouville és un nombre real x amb la propietat que, per a qualsevol enter positiu n, existeixen altres dos sencers p i q tals que q > 1 i que també satisfan:
Gràcies a les fraccions contínues sabem que tot nombre real pot aproximar-se per infinits racionals p/q que verifiquen 0 < |x − p/q| < 1/q². Els nombres de Liouville són aquells pels quals el 2 en l'exponent de q pot ser canviat per qualsevol natural n, o siga que d'alguna manera són els «millor aproximats» per racionals.
Algunes propietats Tot nombre de Liouville és irracional. Els nombres de Liouville són transcendents. El conjunt de nombres de Liouville té mesura de Lebesgue zero. El conjunt de nombres de Liouville pot obtenir-se com una intersecció numerable d'oberts densos en . Com a conseqüència d'això (utilitzant el teorema de Baire i que els reals formen un espai mètric complet) es deduix que aquest conjunt és no numerable i dens en els reals.
Constant de Liouville L'exemple més conegut de nombre de Liouville és el que es denomina «constant de Liouville», definida com:
en el qual cada dígit decimal és igual a si està en la posició i és igual a en cas contrari.
Aquest va ser el primer nombre que va poder demostrar-se que és transcendent, prova deguda a Joseph Liouville (1850).
Referències
Liouville