Leconomia matemàtica és l'aplicació de mètodes matemàtics per representar teories i analitzar problemes en l'economia els quals van més enllà de la geometria simple, per exemple, el càlcul diferencial i integral, les equacions diferencials, l'àlgebra de matrius, la programació matemàtica i altres mètodes computacionals. TOC.
Aquests mètodes proporcionen maneres de formular relacions teòriques amb rigor, generalitat i simplicitat. Un exemple d'això és com les matemàtiques donen la possibilitat de formar proposicions significatives i comprovables sobre fenòmens econòmics complexos i de gran abast, els quals serien difícil d'explicar d'una manera menys formal; o la facilitat del llenguatge matemàtic de generar arguments específics i positius sobre tòpics irresolubles sense les matemàtiques.
Els models matemàtics ajuden a representar gran part de la teoria econòmica. Algunes aplicacions de les matemàtiques en l'economia inclouen:
Problemes d'optimització amb l'equilibri com a objectiu. Anàlisi estàtica (o d'equilibri). Comparació estàtica. Anàlisi dinàmica.
Història L'ús de les matemàtiques a l'anàlisi econòmica i social data del . En aquest temps, principalment a universitats alemanyes, va emergir un estil d'ensenyament, el qual tracta específicament la presentació detallada d'informació i tenia una gran relació amb l'administració pública. Gottfried Achenwall va participar en aquesta conjuntura i va encunyar el terme d'estadística. Alhora, un petit grup de professors d'Anglaterra van establir un mètode de "raonament a través de números sobre els aspectes relacionats amb el govern" i es van referir a aquesta pràctica com una Aritmètica Política. William Petty va escriure sobre problemes que serien després discutits pels economistes, com l'aplicació d'impostos, la velocitat dels diners i l'ingrés inicial, però mentre la seva anàlisi era numèrica, rebutjava l'ús de matemàtiques abstractes. L'ús de la informació numèrica detallada de Petty (juntament amb John Graunt) influeixen en els estadistes i economistes per un període, encara que el treball de Petty va ser ignorat pels erudits anglesos de la seva època.Schumpeter (1954) p. 212-215.
La matematització de l'economia va començar a l'època primerenca del . Una gran part de l'anàlisi econòmica del temps era el que després es coneixeria com a economia clàssica. Els temes eren preparats i discutits a través de mètodes algebraics, no obstant això, el càlcul no era usat. Abans que es presentés el treball The Isolated Satate de Johann Heinrich von Thünen el 1826, els economistes no havien generat models explícits i abstractes per definir el comportament i aplicar-hi eines matemàtiques. El model de Thünen de l'ús dels terrenys de cultiu representa el primer exemple de l'anàlisi marginal. El treball de Thünen era majoritàriament teòric, però, va utilitzar informació empírica per donar suport a les seves generalitats. En comparació dels contemporanis, Thünen va generar models i eines econòmiques, en lloc d'aplicar les eines existents a nous problemes.Schumpeter (1954) p. 465-468
Mentrestant, una nova cort d'erudits que coneixia els mètodes matemàtics de les ciències físiques es van acostar a l'economia, aplicant i defensant aquells mètodes a la seva disciplina,Philip Mirowski, 1991. "The When, the How and the Why of Mathematical Expression in the History of Economics Analysis", Journal of Economic Perspectives, 5(1) pp. i és descrit avui dia com el moviment de la geometria a la mecànica.Weintraub, E. Roy (2008). "mathematics and economics", The New Palgrave Dictionary of Economics, 2nd Edition. Abstract. Es va incloure a W.S. Jevons qui va presentar un treball sobre "una teoria matemàtica general de la política econòmica" el 1862, on va proveir un esquema per a l'ús de la teoria de la utilitat marginal en la política econòmica.Jevons, W. S. (1866). "Brief Account of a General Mathematical Theory of Political Economy", Journal of the Royal Statistical Society, XXIX (June) p. 282-87. Read in Section F of the British Association, 1862. En 1871, Jevons va publicar Els principis de l'economia política, declarant que aquest tema com a ciència "ha de ser simplement matemàtic, ja que aquest treballa amb quantitats." Jevons esperava que només la recol·lecció de les estadístiques de preus i quantitats permetin a la disciplina convertir-se en una ciència exacta. Altres van encara expandir la representació matemàtica de problemes econòmics.
Marginalistes i els inicis de l'economia neoclàssica Augustin Cournot i Léon Walras van crear les eines de la disciplina axiomàticament al voltant de la utilitat, argumentant que els individus busquen maximitzar la seva utilitat a través de les eleccions en una manera que podia ser descrita matemàticament. En aquell temps, era pensat que la utilitat era quantificable, en unitats conegudes com a estris. Cournot, Walras i Francis Ysidro Edgeworth són considerats els precursors de l'economia matemàtica moderna.
Agustin Cournot Cournot, un professor de matemàtiques, va desenvolupar, el 1838, un tractament matemàtic per als duopolis -una condició de mercat que es defineix per la competició entre dues empreses venedores. Aquest tractament de competició, publicat per primera vegada a Researches into the Mathematical Principles of Wealth (Investigacions en els principis matemàtics de la riquesa), es coneix com el duopoli de Cournot. S'assumeix que els dos venedors tenen una igualtat en l'accés al mercat i que poden produir productes sense cap cost. Després, s'assumeix que tots dos produeixen productes homogenis. Cada venedor canviaria la producció basant-se en la producció de l'altre i el preu de mercat seria determinat per la quantitat total de productes oferts. La utilitat de cada empresa seria determinada mitjançant multiplicar la producció de cada empresa i el preu de mercat per unitat. Diferenciant la funció d'utilitat respecte a la quantitat oferta de cada signatura, dona un sistema d'equacions lineals, la solució simultània d'aquest ens donaria una quantitat d'equilibri, un preu i una utilitat. Les contribucions de Cournot a la matematització de l'economia serien abandonades per dècades, però eventualment aquestes van influir a una gran part dels marginalistes. Els models de Cournot sobre el duopoli i oligopoli també representen una de les primeres formulacions dels jocs no cooperatius. Avui dia, la solució pot ser donada com un equilibri de Nash, però el treball de Cournot va procedir a la teoria de jocs moderna per més de cent anys.
Léon Walras Mentre Cournot va proveir una solució al que després se'n diria equilibri parcial, Léon Walras va tractar de formalitzar la discussió de l'economia com una sola a través de la teoria de l'equilibri general. El comportament de tot actor econòmic seria considerat al costat de la producció i del consum. Walras originalment va presentar quatre models separats d'intercanvi, cadascun s'incloïa al següent. La solució del sistema d'equacions resultants (lineals i no lineals) és l'equilibri general. En aquell moment, una solució general no podia ser expressada per a un sistema d'una gran quantitat d'equacions, però els intents de Walras van produir dos famosos resultats a l'economia. El primer és la llei de Walras i el segon és el principi de tâtonnement (tempteig en francès). El mètode de Walras va ser considerat per tenir un contingut altament matemàtic per a l'època i Edgeworth va comentar àmpliament sobre aquest tema a la seva ressenya Éléments d'économie politique pure (Elements de l'economia política pura).
La llei de Walras va ser introduïda com una resposta teòrica al problema de determinar solucions a l'equilibri general. La seva notació és diferent de les notacions modernes, però es pot construir usant una moderna notació sumatòria. Walras va assumir que en l'equilibri, tots els diners serien gastats en tots els productes: tots els productes serien comercialitzats al preu del mercat de cada producte i tots els compradors gastarien fins al seu últim dòlar en una cistella de productes. Prenent com a base aquesta suposició, Walras va mostrar que si existissin n mercats i n-1 mercats compensats (que comptin amb les condicions d'equilibri), aquest n mercat extra es compensaria a si mateix. Això és més fàcil de visualitzar amb dos mercats (considerats a la majoria dels llibres de text com un mercat de béns i un mercat de diners). Si un dels dos mercats ha assolit un estat d'equilibri, cap bé addicional (sigui producte o diners) pot entrar o sortir del segon mercat, provocant que aquest també es trobi en un estat d'equilibri. Walras va fer servir aquest argument per provar l'existència de solucions per a l'equilibri general, però avui dia aquest s'usa per mostrar el concepte de compensació de mercats a nivell universitari.Nicholson, Walter; Snyder, Christopher, p. 350-353.
El tâtonnement (tanteig) estava dirigit a servir com una expressió pràctica de l'equilibri general. Walras va entendre el mercat com una subhasta de béns on el subhastador oferiria al públic preus i els participants del mercat esperarien fins que ells poguessin satisfer el seu preu personal fix per a la quantitat desitjada (cal recordar que és una subhasta de tots els béns, per tant, totes les persones tenen un preu personal fixat per a la seva cistella de béns desitjada).
Només quan tots els compradors estan satisfets com un preu de mercat donat, la transacció passa. El mercat es "compensaria" (no existiria superàvit o dèficit) en aquest preu. La paraula tâtonnement és usada per a descriure l'orientació que el mercat pren temptejant cap a l'equilibri, mentre s'estableixen preus alts i baixos en diferents béns fins que el preu s'accepta per a tots els béns. Mentre aquest procés sembla dinàmic, Walras només el presentava com un model estàtic, en què cap transacció passaria fins que tots els mercats estiguessin en equilibri. A la pràctica, molt pocs mercats operen així.
Francis Ysidro Edgeworth Edgeworth va introduir elements matemàtics a l'economia, explícitament en el seu treball anomenat Mathematical Psychics: An Essay on the Application of Mathematics to the Moral Sciences (Matemàtiques Físiques: Un assaig de l'aplicació de les matemàtiques a les ciències morals), el qual va ser publicat a 1881. L'adoptà el càlcul felicífic de Jeremy Bentham al comportament econòmic, permetent que el resultat de cada decisió es pogués convertir en un canvi en la utilitat. Usant aquesta suposició, Edgeworth va crear un model d'intercanvi, basat en tres suposicions: els individus s'interessen en si mateixos, els individus actuen per maximitzar la utilitat, i els individus són lliures de recontractar amb qualsevol independentment d'altres individus.
Donats dos individus, el conjunt de solucions on els dos individus poden maximitzar la seva utilitat és descrit per la corba del contracte, en el que ara és conegut com una caixa d'Edgeworth. Tècnicament, la construcció d'una solució de dues persones al problema d'Edgeworth no va ser desenvolupada gràficament fins a 1924 per Arthur Lyon Bowley. La corba del contracte de la caixa d'Edgeworth (o més general en qualsevol de les solucions al problema d'Edgewoth per més actors) és referida com el nucli d'una economia.