En teoria de probabilitats, una distribució logarítmica de Cauchy és una distribució de probabilitat d'una variable aleatòria el logaritme de la qual es distribueix d'acord amb una distribució de Cauchy. Si X és una variable aleatòria amb una distribució de Cauchy, aleshores Y = exp(X) té una distribució log-Cauchy; de la mateixa manera, si Y té una distribució log-Cauchy, llavors X=log(Y) té una distribució de Cauchy.
Caracterització La distribució log-Cauchy és un cas especial de la distribució log-t on el paràmetre de graus de llibertat és igual a 1.
Funció de densitat de probabilitat La distribució log-Cauchy té la funció de densitat de probabilitat:
on és un nombre real i . Si se sap, el paràmetre d'escala és . i corresponen al paràmetre de localització i al paràmetre d'escala de la distribució de Cauchy associada. Alguns autors defineixen i com els paràmetres d'ubicació i escala, respectivament, de la distribució log-Cauchy. Per i , corresponent a una distribució estàndard de Cauchy, la funció de densitat de probabilitat es redueix a:
Usos En l'estadística bayesiana, la distribució log-Cauchy es pot utilitzar per aproximar la densitat impropia de Jeffreys -Haldane, 1/k, que de vegades es suggereix com a distribució prèvia per a k on k és un paràmetre positiu que s'està estimant. La distribució log-Cauchy es pot utilitzar per modelar certs processos de supervivència on es poden produir valors atípics significatius o resultats extrems. Un exemple d'un procés on una distribució log-Cauchy pot ser un model adequat és el temps que transcorre entre algú que s'infecta pel VIH i mostra símptomes de la malaltia, que pot ser molt llarg per a algunes persones. També s'ha proposat com a model per als patrons d'abundància d'espècies.
Referències
Categoria:Distribucions de probabilitat