En geometria diferencial, lespai cotangent és un espai vectorial associat a un punt en una varietat llisa (o diferenciable) ; es pot definir un espai cotangent per a cada punt d'una varietat llisa. Normalment, l'espai cotangent, es defineix com l'espai dual de l'espai tangent a , , tot i que hi ha definicions més directes (vegeu més avall). Els elements de l'espai cotangent s'anomenen vectors cotangents o covectors tangents.
Propietats Tots els espais cotangents en punts d'una varietat connectada tenen la mateixa dimensió, igual a la dimensió de la varietat. Tots els espais cotangents d'una varietat es poden "enganxar" (és a dir, unir-se i dotar-se d'una topologia) per formar una nova varietat diferenciable de dues vegades la dimensió, el paquet cotangent de la varietat.
L'espai tangent i l'espai cotangent en un punt són espais vectorials reals de la mateixa dimensió i, per tant, isomòrfics entre si mitjançant molts isomorfismes possibles. La introducció d'una mètrica riemanniana o d'una forma simplèctica dona lloc a un isomorfisme natural entre l'espai tangent i l'espai cotangent en un punt, associant a qualsevol covector tangent un vector tangent canònic.
Definicions formals Definició com a funcionals lineals Deixa ser una varietat llisa i deixar ser un punt . Deixa sigui l'espai tangent a . Aleshores l'espai cotangent a x es defineix com l'espai dual de
Concretament, els elements de l'espai cotangent són funcionals lineals . És a dir, cada element és un mapa lineal
on és el cos subjacent de l'espai vectorial que es considera, per exemple, el cos dels nombres reals. Els elements de s'anomenen vectors cotangents.
Definició alternativa En alguns casos, es podria agradar tenir una definició directa de l'espai cotangent sense fer referència a l'espai tangent. Aquesta definició es pot formular en termes de classes d'equivalència de funcions suaus . De manera informal, direm que dues funcions suaus f i g són equivalents en un punt si tenen el mateix comportament de primer ordre a prop , anàloga als seus polinomis lineals de Taylor; dues funcions f i g tenen el mateix comportament de primer ordre a prop si i només si la derivada de la funció f − g s'esvaeix a . L'espai cotangent consistirà llavors en tots els possibles comportaments de primer ordre d'una funció propera .
Referències
Categoria:Geometria diferencial