En geometria diferencial, el quadrigradient (o 4-gradient) és l'anàleg de quadrivectors del gradient del càlcul vectorial.

En la relativitat especial i en la mecànica quàntica, el gradient de quatre s'utilitza per definir les propietats i les relacions entre els diferents quatre vectors físics i tensors.

Notació Aquest article utilitza la signatura mètrica .

SR i GR són abreviatures de relativitat especial i relativitat general, respectivament.

indica la velocitat de la llum en el buit.

és la mètrica espai-temps plana de SR.

Hi ha maneres alternatives d'escriure expressions de quatre vectors en física:

Es pot utilitzar l'estil de quadrivectors: , que normalment és més compacte i pot utilitzar la notació vectorial, (com el producte interior "punt"), sempre utilitzant majúscules en negreta per representar els quatre vectors, i en negreta en minúscules per representar vectors de 3 espais, p.ex. La majoria de les regles de vectors de 3 espais tenen anàlegs en matemàtiques de quatre vectors. Es pot utilitzar l'estil de càlcul de Ricci: , que utilitza la notació d'índex tensor i és útil per a expressions més complicades, especialment aquelles que involucren tensors amb més d'un índex, com ara .

L'índex del tensor llatí oscil·la en i representa un vector de 3 espais, p. ex. .

L'índex tensor grec oscil·la en i representa un vector de 4, p. ex. .

En la física SR, normalment s'utilitza una barreja concisa, p , on representa el component temporal i representa els 3 components espacials.

Els tensors en SR solen ser 4D -tensors, amb índexs superiors i índexs més baixos, amb la 4D indicant 4 dimensions = el nombre de valors que pot prendre cada índex.

La contracció del tensor utilitzada en la mètrica de Minkowski pot anar a qualsevol costat (vegeu la notació d'Einstein): 56, 151–152, 158–161 

Definició Els components covariants de 4 gradients escrits de manera compacta en quatre vectors i en notació de càlcul de Ricci són:The Cambridge Handbook of Physics Formulas, G. Woan, Cambridge University Press, 2010,  16 

La coma a l'última part anterior implica la diferenciació parcial respecte a 4-posicions .

Els components contravariants són: 16 

Símbols alternatius a són i D (encara que també pot significar com a operador d'Alembert).

En GR, cal utilitzar el tensor mètric més general i la derivada covariant del tensor (no s'ha de confondre amb el vector 3-gradient ).

La derivada covariant incorpora el gradient de 4 més efectes de curvatura de l'espai-temps mitjançant els símbols de Christoffel

El principi d'equivalència forta es pot afirmar com: 184 

"Qualsevol llei física que es pugui expressar en notació tensor en SR té exactament la mateixa forma en un marc localment inercial d'un espai-temps corbat". Les comes de 4 gradients (,) a SR simplement es canvien a punt i coma derivats covariants (;) a GR, amb la connexió entre ambdues utilitzant símbols de Christoffel. Això es coneix en física de la relativitat com la "regla de la coma a punt i coma".

Així, per exemple, si en SR, doncs en GR.

En un (1,0)-tensor o 4-vector això seria: 136–139 En un (2,0)-tensor això seria:

Referències

Categoria:Geometria diferencial