El mètode Einstein–Brillouin–Keller (EBK) és una tècnica semiclàssica (anomenta així en honor a Albert Einstein, Léon Brillouin, i Joseph B. Keller) que s'empra per calcular valors propis en sistemes de mecànica quàntica. La quantificació EBK és una millora de la quantificació de Bohr-Sommerfeld que no considerava els salts de fase càustica als punts d'inflexió clàssics. Aquest procediment és capaç de reproduir exactament l'espectre de l'oscil·lador harmònic 3D, la partícula en una caixa i fins i tota l'estructura fina relativista de l'àtom d'hidrogen.

El 1976–1977, Michael Berry i M. Tabor van derivar una extensió de la fórmula de traça de Gutzwiller per a la densitat d'estats d'un sistema integrable a partir de la quantificació EBK.

Hi ha hagut una sèrie de resultats recents sobre qüestions computacionals relacionades amb aquest tema, per exemple, el treball d'Eric J. Heller i Emmanuel David Tannenbaum utilitzant un enfocament de descens del gradient d'equacions diferencials parcials.

Procediment Donat un sistema clàssic separable definit per coordenades , en què cada parella descriu una funció tancada o una funció periòdica en , el procediment EBK implica quantificar les integrals de línia de sobre l'òrbita tancada de :

on és la coordenada de l'angle d'acció, és un nombre enter positiu i i són índexs de Maslov. correspon al nombre de punts d'inflexió clàssics en la trajectòria de (Condició de límit de Dirichlet), i correspon al nombre de reflexions amb una paret dura (condició de límit de Neumann).

Exemples Oscil·lador harmònic 1D L'Hamiltonià d'un oscil·lador harmònic simple ve donat per

on és el moment lineal i la coordenada de la posició. La variable d'acció ve donada per

on ho hem utilitzat és l'energia i que la trajectòria tancada és 4 vegades la trajectòria des de 0 fins al punt d'inflexió .

La integral resulta ser

,

que sota la quantificació EBK hi ha dos punts d'inflexió suaus a cada òrbita i . Finalment, això resulta

,

que és el resultat exacte de la quantificació de l'oscil·lador harmònic quàntic.

Referències

Categoria:Mecànica quàntica