alt=Plot of the Jacobi polynomial function P n^(a,b) with n=10 and a=2 and b=2 in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D|miniatura|Gràfic de la funció polinomial de Jacobi amb i i en el pla complex des de a amb colors creats amb la funció de Mathematica 13.1 ComplexPlot3D En matemàtiques, polinomis de Jacobi (ocasionalment anomenats polinomis hipergeomètrics) són una classe de polinomis ortogonals clàssics. Són ortogonals respecte al pes a l'interval . Els polinomis de Gegenbauer, i per tant també els polinomis de Legendre, Zernike i Chebyshev, són casos especials dels polinomis de Jacobi.
Els polinomis de Jacobi van ser introduïts per Carl Gustav Jacob Jacobi.
Definicions Mitjançant la funció hipergeomètrica Els polinomis de Jacobi es defineixen mitjançant la funció hipergeomètrica de la següent manera:
on és el símbol de Pochhammer (per al factorial de caiguda). En aquest cas, la sèrie de la funció hipergeomètrica és finita, per tant s'obté la següent expressió equivalent:
Fórmula de Rodrigues Una definició equivalent ve donada per la fórmula de Rodrigues:
Si , llavors es redueix als polinomis de Legendre :
Expressió alternativa per a l'argument real De veritat el polinomi de Jacobi es pot escriure alternativament com
i per a nombre sencer
on és la funció gamma.
En el cas especial que les quatre quantitats , , , són nombres enters no negatius, el polinomi de Jacobi es pot escriure comLa suma s'estén sobre tots els valors enters de per als quals els arguments dels factorials no són negatius.
Aplicacions Matriu d de Wigner L'expressió () permet l'expressió de la matriu d de Wigner (per a ) en termes de polinomis de Jacobi:
on .
Referències
Jacobi