Una expansió de Sommerfeld és un mètode d'aproximació desenvolupat per Arnold Sommerfeld per a una determinada classe d'integrals que són comuns en la matèria condensada i la física estadística. Físicament, les integrals representen mitjanes estadístiques utilitzant la distribució de Fermi-Dirac.
Quan la temperatura inversa és una gran quantitat, la integral es pot expandir en termes de com
on s'utilitza per indicar la derivada de avaluat a i on el La notació fa referència al comportament de l'ordre limitant . L'ampliació només és vàlida si desapareix com i no va més ràpid que polinomialment com . Si la integral és de zero a infinit, aleshores la integral del primer terme de l'expansió és de zero a i el segon terme no ha canviat.
Aplicació al model d'electrons lliures Les integrals d'aquest tipus apareixen amb freqüència en el càlcul de propietats electròniques, com la capacitat calorífica, en el model d'electrons lliures dels sòlids. En aquests càlculs, la integral anterior expressa el valor esperat de la quantitat . Per a aquestes integrals podem identificar com la temperatura inversa i com el potencial químic. Per tant, l'expansió de Sommerfeld és vàlida per a grans sistemes (baixa temperatura).
Derivació a segon ordre en temperatura Busquem una expansió que sigui de segon ordre en temperatura, és a dir, a , on és el producte de la temperatura i la constant de Boltzmann. Comenceu amb un canvi de variables a :
Dividiu el rang d'integració, , i reescriure utilitzant el canvi de variables :
A continuació, utilitzeu un "truc" algebraic sobre el denominador de ,
per obtenir:
Torna a les variables originals amb en el primer terme de . Combina per obtenir:
El numerador del segon terme es pot expressar com una aproximació a la primera derivada, sempre que sigui és prou petit i és prou suau:
per obtenir,
Es coneix que la integral definida és:
Per tant,
Referències
Categoria:Mecànica estadística