En lògica matemàtica, el lema del col·lapse de Mostowski, també conegut com el col·lapse de Shepherdson–Mostowski, és un teorema en teoria de conjunts introduït per i .
Enunciat Suposem que és una relació binària en una classe tal que
és local: és un conjunt per a cada , està ben fonamentada: cada subconjunt no buit de conté un element -mínim (és a dir, hi ha un element tal que és buit), és extensional: per a qualsevol parell d'elements diferents i de .
El lema del col·lapse de Mostowski afirma que per a tota relació binària d'aquest tipus existeix una única classe transitiva (possiblement pròpia) l'estructura de la qual sota la relació de pertinença és isomòrfica a , i l'isomorfisme és únic. L'isomorfisme envia cada element de al conjunt d'imatges dels elements de tals que (Jech 2003:69).
Generalitzacions Per a tota relació local ben fonamentada existeix una immersió en una relació extensional local ben fonamentada. Això implica la següent variant del lema de col·lapse de Mostowski: tota relació local ben fonamentada és isomòrfica a la relació de pertinença entre conjunts d'una classe (no única i no necessàriament transitiva).
Per a tota relació binària local i ben fonamentada en es pot definir, per recursivitat ben fonamentada, una aplicació tal que per a tota en . Aquesta aplicació és un homomorfisme exhaustiu de a una classe transitiva (no única, en general). L'homomorfisme és un isomorfisme si i només si és extensional.
L'assumpció de bona fonamentació del lema de Mostowski es pot alleujar o eliminar en teories de conjunts no ben fonamentades. En la teoria de conjunts de Boffa, tota relació extensional local és isomòrfica a la relació de pertinença entre conjunts d'una classe transitiva (no única). En la teoria de conjunts amb l'axioma anti-fundament d'Aczel, cada relació local és bisimilar a la relació de pertinença entre conjunts d'una classe transitiva única, per tant, cada relació local mínima respecte la bisimulació és isomòrfica a una classe transitiva única.
Aplicació Tots els models de ZF que són conjunts, són locals i extensionals. Si el model està ben fonamentat, pel lema del col·lapse de Mostowski, llavors és isomorf a un model transitiu de ZF i aquest model transitiu és únic.
Dir que la relació de pertinença d'algun model de ZF està ben fonamentada és més fort que dir que l'axioma de regularitat és cert en el model. Existeix un model de ZF (suposant la consistència de ZF) tal que hi ha un subconjunt de sense element -mínim, però tal que . Més precisament, no existeix cap x en tal que . Per tant, compleix l'axioma de regularitat (està "interiorment" ben fonamentat), però no està ben fonamentat i, per tant, el lema del col·lapse de Mostowski no s'hi aplica.
Referències
Categoria:Lemes (matemàtiques) Categoria:Teoria de conjunts Categoria:Lògica matemàtica