En Matemàtiques, la funció de Volterra és una funció definida en l'interval [0,1] que és contínua, diferenciable, amb la derivada fitada però que no és integrable Riemann. La versió original d'aquesta funció va ser construïda per Vito Volterra (1860-1949) el 1881, quan encara era estudiant, en el context de les discussions sobre el teorema fonamental del càlcul i la integral de Riemann.
Construcció de la funció de Volterra La construcció de la funció de Volterra que presentem es troba a Sz.-Nagy i Gordon; Bressoud en dona una altra versió pràcticament equivalent. Aquesta funció té dos ingredients: la funció i el conjunt de Smith-Volterra-Cantor.
La funció f(x)=x2 sin(1/x) miniatura|Figura 1. Funció prop de zeroLa funció definida per és continua i diferenciable a tot arreu., vegeu la Figura 1. La derivada és Vegeu-ne una representació a la Figura 2. Cal notar que en el punt no es pot aplicar la regla de la cadena i s'ha de calcular la derivada utilitzant la definició de derivada (per la dreta), és dir, calculant . miniatura|Figura 2. Derivada de la funció prop de zero
Anem a provar que la derivada no és contínua en el zero; és convenient veure-ho mitjançant la noció d'oscil·lació d'una funció en un punt. Considerem una funció fitada. Es defineix l'oscil·lació de en un conjunt com Cal notar que és creixent en : si , llavorsEs defineix l'oscil·lació de en un punt comon . La propietat fonamental és que una funció fitada és contínua en el punt si i només si . Vegeu les referències indicades abans.
Retornant a la funció , la seva derivada té extrems als punts per a , i els valors mínims i màxims són, respectivament, Per tant, per qualsevol , i aleshores i per tant no és contínua en el zero. miniatura|Figura 3. Funció . Aquesta funció no es derivable al punt .
Considerem ara un interval amb , i designem per el punt mig de l'interval. Definim la funció per iLa funció és simètrica respecte la recta vertical per i en general no es derivable en aquest punt. Vegeu la Figura 3. miniatura|Figura 4. Funció Amb l'objectiu de suavitzar aquesta funció en el punt i obtenir una funció derivable en tot , sigui el punt més gran de l'interval on té un màxim, i , que per la simetria de la funció serà el punt més petit de on la funció té un màxim. Definim per i per a , Vegeu la Figura 4. Aquesta funció és contínua i derivable, i per a qualsevol ,A més, en els punts i es comporta com la funció en un entorn de 0; concretament té extrems en els punts de la forma i i té variació igual a 2 en i .
El conjunt de Smith-Volterra-Cantor Article principal: Conjunt de Smith-Volterra-Cantor
El conjunt de Smith-Volterra-Cantor es construeix de manera similar al conjunt de Cantor, eliminant successivament intervals de l'interval , però ara els intervals que eliminem tenen amplada . El procés comença eliminant un segment obert de longitud 1/4 de la part central de l'interval ; concretament, traiem l'interval , de manera que el conjunt restant és
Els passos següents consisteixen a eliminar subintervals d'amplada de la part central de cadascun dels intervals restants. Així que al segon pas s'eliminen els intervals i i queda el conjunt
Continuant indefinidament aquest procés d'eliminació, obtenim una successió . El conjunt Smith–Volterra–Cantor, que designarem per , és el conjunt de punts que queden; formalment, La imatge següent mostra el conjunt inicial i cinc iteracions d'aquest procés. center|512x512px
Utilitzarem les següents propietats: 1. Sigui una enumeració dels intervals oberts que hem eliminat. Per construcció i tots els conjunts que intervenen en l'expressió de la dreta són disjunts dos a dos. 2. Sigui . Noteu que aquest conjunt coincideix amb el conjunt de tots els extrems dels intervals que formen tots els conjunts i que . En qualsevol entorn d'un punt de , hi ha almenys un element de , és a dir, els punts de són punts d'acumulació de . Vegeu la propietat 4 del conjunt de Smith-Volterra-Cantor. 3. El conjunt de Smith-Volterra-Cantor té mesura de Lebesgue 1/2.
La funció de Volterra miniatura|400x400px|Figura 5. Construcció de la funció de Volterra La funció de Volterra és la funció definida de la següent manera: Per a , aleshores, serà d'algun dels intervals que hem suprimit, posem , i definim Per la propietat 1 del conjunt de Smith-Volterra- Cantor, la funció està ben definida en tot ; a la Figura 5 hi ha una representació d'una de les etapes de la construcció de . Vegem ara les següents propietats:
La funció és contínua i diferenciable. Ni ha prou amb veure que és diferenciable en tot l'interval . Per construcció, la funció és diferenciable en tot punt dels intervals . Anem a veure que també és diferenciable en tot punt , i que , per a la qual cosa veurem que En efecte, suposem que ; si , llavors, i per tant,Si , llavors per algun . Aleshores, per la primera de les desigualtats (1) ,Per tant, L'altre límit es veu de manera anàloga.
La derivada és fitada. La raó és que, a partir dels càlculs fet per la funció , en cadascun dels intervals , tenim que , i segons hem vist, en els punts de val 0.
La derivada és discontínua en tots els punts de . Recordem que . Si , per exemple , aleshores Si , per la propietat 2 del conjunt de Smith-Volterra-Cantor que hem assenyat abans, en tot entorn de hi ha punts de . Fixem i sigui tal que i Llavors
La derivada no és integrable Riemann. Aquesta propietat resulta de la caracterització de Lebesgue de la integrabilitat de Riemann: una funció definida en un interval tancat fitada és integrable Riemann si i només si el conjunt de punts de discontinuïtat té mesura de Lebesgue zero. En aquest cas que ens ocupa, la funció és discontinua en el conjunt de Smith-Volterra-Cantor, que té mesura de Lebesgue 1/2.
La funció de Volterra original La construcció original de Volterra es fa a partir de les funcions , però replicant-les sobre el conjunt de Volterra i no sobre el conjunt de Smith-Volterra-Cantor com s'ha fet en aquest article. Vegeu Ponce-Campuzano y Maldonado-Aguilar per als detalls.
Referències
Categoria:Teoria de la mesura Categoria:Fractals