En matemàtiques, les relacions euclidianes són una classe de relacions binàries que formalitzen l'Axioma 1 dels Elements d'Euclides: "Les magnituds que són iguals a la mateixa són iguals entre si".
Definició miniatura|170x170px| Propietat euclidiana per la dreta: les fletxes sòlides i discontinues indiquen antecedents i conseqüents, respectivament. Una relació binària en un conjunt és euclidiana (de vegades anomenada euclidiana per la dreta) si compleix el següent: per a cada , , en , si està relacionada amb i , aleshores està relacionada amb .. En termes de la lògica de predicats:
Dualment, una relació en un conjunt és euclidiana per l'esquerra si per a cada , , en , si està relacionada amb i està relacionada amb , aleshores està relacionada amb . Formalment:
Propietats Degut a la commutativitat de en la definició de l'antecedent, també implica quan és euclidiana per la dreta. De forma similar, implica quan és euclidiana per l'esquerra. La propietat de ser euclidiana és diferent de la transitivitat. Per exemple, és transitiva, però no euclidiana per la dreta, mentre que definida com no és transitiva, però és euclidiana per la dreta en els nombres naturals. Transitivitat, euclidianitat per la dreta, i euclidianitat per l'esquerra coincideixen en relacions simètriques. Tanmateix, una relació no simètrica pot ser també transitiva i euclidiana per la dreta a la vegada, per exemple, definida per . Una relació que és a la vegada euclidiana per la dreta i reflexiva és també simètrica i per tant una relació d'equivalència. De forma similar, tota relació euclidiana per l'esquerra i reflexiva és d'equivalència. El rang d'una relació euclidiana per la dreta és sempre un subconjunt del seu domini. La restricció d'una relació euclidiana per la dreta al seu rang és sempre reflexiva, i per tant una relació d'equivalència. De forma similar, el domini d'una relació euclidiana per l'esquerra és un subconjunt del seu rang, i la restricció d'una relació euclidiana per l'esquerra al seu domini és una relació d'equivalència. Una relació és a la vegada euclidiana per la dreta i per l'esquerra si i només si el domini i el rang de coincideixen, i és una relació d'equivalència. Qualsevol relació euclidiana per la dreta o per l'esquerra és sempre quasitransitiva. Una relació total i euclidiana per la dreta és sempre transitiva; i per tant també és euclidiana per l'esquerra. Si té almenys 3 elements, una relació total i euclidana per la dreta o per l'esquerra en no pot ser antisimètrica. En el conjunt de dos elements , per exemple la relació definida per és total, euclidiana per la dreta, i antisimètrica, i la relació definida per és total, euclidiana per l'esquerra, i antisimètrica. Una relació en un conjunt és euclidiana per la dreta si i només si la restricció de al seu rang és una relació d'equivalència i per a tota en el rang de , tots els elements amb els que està relacionada a través de són equivalents. De forma similar, és euclidiana per l'esquerra si i només si la restricció de al seu domini és una relació d'equivalència i per a tota en el domini de , tots els elements relacionats amb a través de són equivalents.
Referències
Categoria:Matemàtiques