miniatura|Un eix de cargol. El teorema de Mozzi-Chasles diu que tot moviment euclidià és un desplaçament del cargol al llarg d'un eix del cargol. En cinemàtica, el teorema de Chasles, o teorema de Mozzi-Chasles, diu que el desplaçament més general d'un cos rígid es pot produir mitjançant un desplaçament de cargol. Una isometria euclidiana directa en tres dimensions implica una translació i una rotació. La representació del desplaçament del cargol de la isometria descompon la translació en dues components, una paral·lela a l'eix de rotació associat a la isometria i l'altra component perpendicular a aquest eix. El teorema de Chasles estableix que l'eix de rotació es pot seleccionar per proporcionar la segona component de la translació original com a resultat de la rotació. Aquest teorema en tres dimensions estén una representació similar d'isometries planes com a rotació. Un cop seleccionat l'eix del cargol, el desplaçament del cargol gira al seu voltant i s'inclou una translació paral·lela a l'eix en el desplaçament del cargol.

Isometries planes amb nombres complexos La geometria euclidiana s'expressa en el pla complex mitjançant punts on i al quadrat és −. Les rotacions resulten de multiplicacions per . Tingueu en compte que una rotació al voltant del punt complex p s'obté mitjançant aritmètica complexa amb

on l'última expressió mostra la funció equivalent a la rotació a 0 i una translació. Per tant, donada la isometria directa

un pot resoldre obtenir com a centre per a una rotació equivalent, sempre que , és a dir, sempre que la isometria directa no sigui una translació pura. Com va afirmar Cederberg, "Una isometria directa és o bé una rotació o bé una translació".

Història La prova que un desplaçament espacial es pot descompondre en una rotació i lliscament al voltant i al llarg d'una línia s'atribueix a l'astrònom i matemàtic Giulio Mozzi (1763); de fet, l'eix del cargol s'anomena tradicionalment asse di Mozzi a Itàlia. Tanmateix, la majoria de llibres de text fan referència a una obra similar posterior de Michel Chasles que data de 1830. Diversos altres contemporanis de M. Chasles van obtenir els mateixos resultats o similars al voltant d'aquella època, incloent-hi G. Giorgini, Cauchy, Poinsot, Poisson i Rodrigues. Un relat de la demostració de 1763 de Giulio Mozzi i part de la seva història es pot trobar aquí.

Prova Mozzi considera un cos rígid que experimenta primer una rotació al voltant d'un eix que passa pel centre de massa i després una translació de desplaçament D en una direcció arbitrària. Qualsevol moviment rígid es pot aconseguir d'aquesta manera gràcies a un teorema d'Euler sobre l'existència d'un eix de rotació. El desplaçament D del centre de massa es pot descompondre en components paral·lels i perpendiculars a l'eix. El component perpendicular (i paral·lel) actua sobre tots els punts del cos rígid, però Mozzi demostra que per a alguns punts la rotació anterior va actuar exactament amb un desplaçament oposat, de manera que aquests punts es traslladen paral·lelament a l'eix de rotació. Aquests punts es troben a l'eix de Mozzi a través del qual es pot aconseguir el moviment rígid mitjançant un moviment de cargol.

Una altra demostració elemental del teorema de Mozzi-Chasles va ser donada per ET Whittaker el 1904. Suposem que A s'ha de transformar en B. Whittaker suggereix que la línia AK es seleccioni paral·lela a l'eix de la rotació donada, amb K com a peu d'una perpendicular des de B. El desplaçament del cargol apropiat és al voltant d'un eix paral·lel a AK de manera que K es mogui a B. En termes de Whittaker, "Una rotació al voltant de qualsevol eix és equivalent a una rotació del mateix angle al voltant de qualsevol eix paral·lel a aquest, juntament amb una translació simple en una direcció perpendicular a l'eix".

Càlcul El càlcul de la translació i rotació de commutació a partir d'un moviment de cargol es pot realitzar mitjançant 3DPGA (), l'àlgebra geomètrica de l'espai euclidià 3D. Té tres vectors de base euclidiana satisfactori representant plans ortogonals a través de l'origen, i un vector de base de Grassman satisfactori per representar el pla a l'infinit. Qualsevol avió a distància des de l'origen es pot formar com una combinació lineal que està normalitzat de manera que . Com que les reflexions es poden representar pel pla en què es produeix la reflexió, el producte de dos plans i és la birreflexió . El resultat és una rotació al voltant de la seva línia d'intersecció , que també podria estar sobre el pla a l'infinit quan les dues reflexions són paral·leles, en aquest cas la birreflexió és una traducció.

Un moviment de cargol és el producte de quatre reflexions no colineals, i per tant . Però segons el teorema de Mozzi-Chasles, un moviment de cargol es pot descompondre en una translació commutadora.on és l'eix de translació que satisfà , i la rotacióon és l'eix de rotació que satisfà . Les dues rectes bivector and són ortogonals i commuten. Per trobar i de , simplement escrivim i considerem el resultat grau per grau:Perque el quadrivector i , és directament per tantAixí, per un moviment de cargol la trasllació i rotació pot se trobada usant les 2 fórmules anteriors, i llavors i trobades proporcionals a i respectivament.

Altres dimensions i camps El teorema de Chasles és un cas especial de la descomposició invariant.

Referències

Categoria:Cinemàtica