El teorema de Quillen sobre la equivalència homotòpica de nervis de categories, també conegut com a teorema A de Quillen o teorema de comparació de Quillen, és un resultat fonamental en teoria de categories i topologia algebraica, formulat per Daniel Quillen als anys 1970, en el context del desenvolupament de la seva teoria de l'homotopia per a categories. El teorema estableix una connexió profunda entre la geometria d'una categoria i l'espai de les seves classes d'objectes mitjançant el concepte de realització geomètrica del nervi d'una categoria.May, J. P. Simplicial Objects in Algebraic Topology. University of Chicago Press, 1992.
Aquest teorema no s'ha de confondre amb el teorema fonamental de la K-teoria algebraica de Quillen, que relaciona la K-teoria d'un anell amb la dels seus mòduls projectius.
Enunciat Sigui F: 𝒞 → 𝒟 un functor entre categories petites. El teorema de Quillen proporciona condicions sota les quals el functor indueix una equivalència d'homotopia entre les realitzacions geomètriques dels nervis de les categories:
Teorema (Quillen): Si per a tot objecte d ∈ 𝒟, la categoria coslice F ↓ d és contractible (és a dir, el seu nervi té el tipus d'homotopia d'un punt, cosa que significa que és homotòpicament equivalent a un espai que consta d'un sol punt), , aleshores el funtor induït
és una equivalència d'homotopia.
Aquí, N(𝒞) denota el nervi de la categoria 𝒞 i |N(𝒞)| la seva realització geomètrica, que és un espai topològic.
Referències
Categoria:Teoremes matemàtics Categoria:Teoria de categories Categoria:Topologia algebraica