En relativitat general, la mètrica de Vaidya descriu l'espai-temps extern no buit d'una estrella esfèricament simètrica i no giratòria que emet o absorbeix pols nul·la. Rep el nom del físic indi Prahalad Chunnilal Vaidya i constitueix la generalització no estàtica més simple de la solució no radiativa de Schwarzschild a l'equació de camp d'Einstein, i per tant també s'anomena "mètrica radiant (brillant) de Schwarzschild".
De les mètriques de Schwarzschild a les de Vaidya La mètrica de Schwarzschild com a solució estàtica i esfèricament simètrica de l'equació d'Einstein és
Per eliminar la singularitat de coordenades d'aquesta mètrica a , es podrien canviar a les coordenades d'Eddington-Finkelstein. Així doncs, introduïu la coordenada nul·la "retard(/sortint)". per
i l'Eq(1) es podria transformar en la "mètrica de Schwarzschild retardada (/sortint)"
o, en comptes d'això, podríem emprar la coordenada nul·la "advanced(/ingoring)".
per
de manera que l'Eq(1) esdevé la "mètrica de Schwarzschild avançada (/entrant)"
L'Eq(3) i l'Eq(5), com a solucions estàtiques i esfèricament simètriques, són vàlides tant per a objectes celestes ordinaris amb radis finits com per a objectes singulars com els forats negres. Resulta que encara és físicament raonable si s'estén el paràmetre de massa a les equacions (3) i (5) des d'una constant fins a funcions de la coordenada nul·la corresponent, i respectivament, així
Les mètriques esteses Eq(6) i Eq(7) són respectivament les mètriques Vaidya "retardades (/sortints)" i "avançades (/entrants)". De vegades també és útil reformular les mètriques de Vaidya Eqs(6)(7) a la forma
on representa la mètrica de l'espai-temps pla : utilitzant .
Vaidya sortint amb camp emissor pur Pel que fa a la mètrica Vaidya "retardada (/sortint)" Eq(6), el tensor de Ricci només té un component diferent de zero.
mentre que l'escalar de curvatura de Ricci s'anul·la,
perquè . Així, segons l'equació d'Einstein sense traces , el tensor d'estrès-energia satisfà
on i són (co)vectors nuls (vegeu el requadre A a continuació). Així, és un "camp de radiació pura", que té una densitat d'energia de . Segons les condicions d'energia nul·la
tenim
i per tant el cos central emet radiació.
Seguint els càlculs utilitzant el formalisme de Newman-Penrose (NP) del requadre A, l'espai-temps sortint de Vaidya Eq(6) és de tipus Petrov D, i les components diferents de zero dels escalars de Weyl-NP i Ricci-NP són
Cal destacar que el camp Vaidya és un camp de radiació pura en lloc de camps electromagnètics. Les partícules emeses o els fluxos d'energia-matèria tenen massa en repòs zero i, per tant, generalment s'anomenen "pols nul·la", típicament com ara fotons i neutrins, però no poden ser ones electromagnètiques perquè no es compleixen les equacions de Maxwell-NP. Per cert, les taxes d'expansió nul·la de sortida i entrada per a l'element de línia Eq(6) són respectivament
Suposem , aleshores el lagrangià per a geodèsiques radials nul·les de l'espai-temps Vaidya "retardat(/sortint)" Eq(6) és on punt significa derivada respecte a algun paràmetre . Aquest lagrangià té dues solucions,
Comparació amb la mètrica de Schwarzschild Com a extensió natural i més simple de la mètrica de Schwazschild, la mètrica de Vaidya encara té molt en comú amb ella:
Ambdues mètriques són de tipus D de Petrov amb essent l'únic escalar de Weyl-NP no nul·la (tal com es calcula a les caselles A i B).
Tanmateix, hi ha tres diferències clares entre les mètriques de Schwarzschild i Vaidya:
En primer lloc, el paràmetre de massa per a Schwarzschild és una constant, mentre que per a Vaidya és una funció dependent de u. Schwarzschild és una solució a l'equació d'Einstein del buit , mentre que Vaidya és una solució a l'equació d'Einstein sense traces amb un camp d'energia de radiació pura no trivial. Com a resultat, tots els escalars de Ricci-NP per a Schwarzschild s'estan anul·lant, mentre que tenim per a Vaidya. Schwarzschild té 4 camps vectorials de Killing independents, inclòs un de semblant al temps, i per tant és una mètrica estàtica, mentre que Vaidya només té 3 camps vectorials de Killing independents pel que fa a la simetria esfèrica, i en conseqüència no és estàtic. En conseqüència, la mètrica de Schwarzschild pertany a la classe de solucions de Weyl mentre que la mètrica de Vaidya no.
Referències
Categoria:Relativitat general