Els resultats de l'oscil·lador harmònic quàntic es poden utilitzar per examinar la situació d'equilibri per a un gas ideal quàntic en una trampa harmònica, que és un potencial harmònic que conté un gran nombre de partícules que no interactuen entre si, excepte per col·lisions termalitzants instantànies. Aquesta situació és de gran importància pràctica, ja que molts estudis experimentals de gasos de Bose es duen a terme en aquestes trampes harmòniques.Utilitzant els resultats de les estadístiques de Maxwell-Boltzmann, Bose-Einstein o Fermi-Dirac, fem servir l'aproximació de Thomas-Fermi (gas en una caixa) i anem al límit d'una trampa molt gran, i expressem la degeneració dels estats energètics ( ) com a diferencial, i sumes sobre estats com a integrals. Aleshores estarem en condicions de calcular les propietats termodinàmiques del gas utilitzant la funció de partició o la funció de gran partició. Només es considerarà el cas de partícules massives, tot i que els resultats es poden estendre també a partícules sense massa, tal com es va fer en el cas del gas ideal en una caixa. Càlculs més complets es deixaran per a articles separats, però en aquest article es donaran alguns exemples senzills.
Aproximació de Thomas-Fermi per a la degeneració d'estats Per a partícules massives en un pou harmònic, els estats de la partícula s'enumeren mitjançant un conjunt de nombres quàntics L'energia d'un estat concret ve donada per:
Suposem que cada conjunt de nombres quàntics especifica estats on és el nombre de graus de llibertat interns de la partícula que es poden alterar per col·lisió. Per exemple, una partícula d'espín 1/2 tindria , un per a cada estat d'espín. Podem pensar en cada estat possible d'una partícula com un punt en una quadrícula tridimensional d'enters positius. L'aproximació de Thomas-Fermi assumeix que els nombres quàntics són tan grans que es poden considerar com un continu. Per a valors grans de , podem estimar el nombre d'estats amb energia menor o igual a de l'equació anterior com:
que és just vegades el volum del tetraedre format pel pla descrit per l'equació d'energia i els plans delimitadors de l'octant positiu. El nombre d'estats amb energia entre i és per tant:
Fixeu-vos que en utilitzar aquesta aproximació contínua, hem perdut la capacitat de caracteritzar els estats de baixa energia, inclòs l'estat fonamental on En la majoria dels casos això no serà un problema, però si considerem la condensació de Bose-Einstein, en què una gran part del gas es troba en l'estat fonamental o a prop d'aquest, haurem de recuperar la capacitat de tractar estats de baixa energia.
Sense utilitzar l'aproximació del continu, el nombre de partícules amb energia ve donat per:
on per a partícules que obeeixen les estadístiques de Maxwell–Boltzmannper a partícules que obeeixen les estadístiques de Bose-Einsteinper a partícules que obeeixen les estadístiques de Fermi-Dirac amb , amb sent la constant de Boltzmann, sent la temperatura, i essent el potencial químic. Utilitzant l'aproximació del continu, el nombre de partícules amb energia entre i ara s'escriu:
Funció de distribució d'energia Ara estem en condicions de determinar algunes funcions de distribució per al "gas en una trampa harmònica". La funció de distribució per a qualsevol variable és i és igual a la fracció de partícules que tenen valors per a entre i :
D'això es dedueix que:
Utilitzant aquestes relacions obtenim la funció de distribució d'energia:
Exemples específics Les seccions següents donen exemples de resultats per a alguns casos específics.
Partícules massives de Maxwell-Boltzmann
Integrant la funció de distribució d'energia i resolent dona:
Substituint a la funció de distribució d'energia original s'obté:
Partícules massives de Bose-Einstein Per a aquest cas:
on es defineix com:
Integrant la funció de distribució d'energia i resolent dona:
on és la funció polilogarítmica. El terme polilogarítmic ha de ser sempre positiu i real, és a dir, el seu valor anirà de 0 a com va de 0 a 1. A mesura que la temperatura baixa cap a zero, es farà cada cop més gran, fins que finalment arribarà a un valor crític , on i
La temperatura a la qual és la temperatura crítica a la qual comença a formar-se un condensat de Bose-Einstein. El problema és que, com s'ha esmentat anteriorment, l'estat fonamental s'ha ignorat en l'aproximació del continu. Resulta que l'expressió anterior expressa força bé el nombre de bosons en estats excitats, i per tant podem escriure:
on el terme afegit és el nombre de partícules en l'estat fonamental. (L'energia de l'estat fonamental s'ha ignorat.) Aquesta equació es mantindrà fins a la temperatura zero. Es poden trobar més resultats a l'article sobre el gas de Bose ideal.
Referències
Categoria:Mecànica quàntica Categoria:Gasos