miniatura|Interpolació trilineal com dues interpolacions bilineals seguides d'una interpolació lineal. La interpolació trilineal és un mètode d'interpolació multivariant sobre una malla regular tridimensional. Aproxima el valor d'una funció en un punt intermedi. dins del prisma rectangular axial local linealment, utilitzant dades de funció sobre els punts de la xarxa. La interpolació trilineal s'utilitza amb freqüència en l'anàlisi numèrica, l'anàlisi de dades i els gràfics per ordinador.
Mètodes relacionats La interpolació trilineal és l'extensió de la interpolació lineal, que opera en espais amb dimensió , i interpolació bilineal, que opera amb dimensió , per dimensionar Aquests esquemes d'interpolació utilitzen polinomis d'ordre 1, donant una precisió d'ordre 2, i requereixen valors predefinits adjacents que envolten el punt d'interpolació. Hi ha diverses maneres d'arribar a la interpolació trilineal, que és equivalent a la interpolació B-spline tensorial tridimensional d'ordre 1, i l'operador d'interpolació trilineal també és un producte tensorial de 3 operadors d'interpolació lineal.
Per a una malla arbitrària i no estructurada (com la que s'utilitza en l'anàlisi d'elements finits), s'han d'utilitzar altres mètodes d'interpolació; si tots els elements de la malla són tetraedres (simples 3D), les coordenades baricèntriques proporcionen un procediment senzill.
Formulació miniatura|Vuit punts de cantonada en un cub que envolten el punt d'interpolació C En una xarxa periòdica i cúbica, volem el valor a , , En el cas general, cada coordenada (per exemple, ) no està exactament en un punt de la xarxa, sinó a una certa distància entre un punt de la xarxa i el següent, Deixa que sigui la distància fraccionària des del punt inferior de la xarxa: . Feu un enfocament similar per a les altres coordenades:
El primer interpola al llarg de (imagineu-vos que un està "empenyent" la cara del cub definit per a la cara oposada, definida per ), donant:
On significa el valor de la funció de Aleshores s'interpolen aquests valors (al llarg de , "empenyent" des de a ), donant:
Finalment, s'interpolen aquests valors al llarg de (caminant per una fila):
Això dóna un valor previst per al punt, que també es pot escriure de la següent manera:
Això fa evident que el resultat de la interpolació trilineal és independent de l'ordre dels passos d'interpolació al llarg dels tres eixos: qualsevol altre ordre, per exemple al llarg de , després al llarg , i finalment al llarg , produeix el mateix valor.
Visualització d'algorismes miniatura|Una visualització geomètrica de la interpolació trilineal. El producte del valor en el punt desitjat i el volum total és igual a la suma dels productes del valor a cada cantonada i el volum parcial diagonalment oposat a la cantonada. Les operacions anteriors es poden visualitzar de la següent manera: Primer trobem les vuit cantonades d'un cub que envolten el nostre punt d'interès. Aquestes cantonades tenen els valors , , , , , , , .
A continuació, fem una interpolació lineal entre i trobar , i trobar , i trobar , i trobar .
Ara fem interpolació entre i trobar , i trobar Finalment, calculem el valor mitjançant interpolació lineal de i
A la pràctica, una interpolació trilineal és idèntica a dues interpolacions bilineals combinades amb una interpolació lineal:
Referències
Categoria:Matemàtiques Categoria:Geometria euclidiana