miniatura|300x300px|Simulació de grans remolins d'un camp de velocitat de gas turbulent. La simulació de grans remolins (LES) és un model matemàtic per a la turbulència utilitzat en la dinàmica de fluids computacional. Va ser proposat inicialment el 1963 per Joseph Smagorinsky per simular els corrents d'aire atmosfèrics, i explorat per primera vegada per Deardorff (1970). La LES s'aplica actualment en una àmplia varietat d'aplicacions d'enginyeria, incloent-hi la combustió, l'acústica, i les simulacions de la capa límit atmosfèrica.
La simulació de fluxos turbulents mitjançant la resolució numèrica de les equacions de Navier-Stokes requereix resoldre una gamma molt àmplia d'escales de temps i longitud, totes les quals afecten el camp de flux. Aquesta resolució es pot aconseguir amb simulació numèrica directa (DNS), però la DNS és computacionalment cara i el seu cost impedeix la simulació de sistemes d'enginyeria pràctics amb geometria o configuracions de flux complexes, com ara dolls turbulents, bombes, vehicles i trens d'aterratge.
La idea principal darrere de la LES és reduir el cost computacional ignorant les escales de longitud més petites, que són les més cares computacionalment de resoldre, mitjançant el filtratge de pas baix de les equacions de Navier-Stokes. Aquest filtratge de pas baix, que es pot veure com una mitjana temporal i espacial, elimina eficaçment la informació a petita escala de la solució numèrica. Tanmateix, aquesta informació no és irrellevant, i cal modelar el seu efecte sobre el camp de flux, una tasca que és una àrea activa de recerca per a problemes en què les petites escales poden tenir un paper important, com ara els fluxos propers a la paret, fluxos reactius i fluxos multifàsics.
Definició i propietats del filtre miniatura|300x300px|Un camp de velocitat produït per una simulació numèrica directa (DNS) de turbulència decaient homogènia. La mida del domini és . Un filtre LES es pot aplicar a un camp espacial i temporal i realitzar una operació de filtratge espacial, una operació de filtratge temporal o ambdues. El camp filtrat, indicat amb una barra, es defineix com: miniatura|300x300px|El mateix camp de velocitat DNS filtrat mitjançant un filtre de caixa i . miniatura|300x300px|El mateix camp de velocitat DNS filtrat mitjançant un filtre de caixa i .
on és el nucli de convolució del filtre. Això també es pot escriure com:
El nucli del filtre té una escala de longitud de tall associada i escala de temps de tall Les escales més petites que aquestes s'eliminen de . Utilitzant la definició de filtre anterior, qualsevol camp es pot dividir en una porció filtrada i una subfiltrada (denotada amb un signe primari), com a
És important tenir en compte que l'operació de filtratge de simulació de remolins grans no satisfà les propietats d'un operador de Reynolds.
Equacions governants filtrades Les equacions governants de LES s'obtenen filtrant les equacions diferencials parcials que governen el camp de flux. Hi ha diferències entre les equacions governants de la LES incompressible i compressible, que porten a la definició d'una nova operació de filtratge.
Flux incompressible Per a un flux incompressible, l'equació de continuïtat i les equacions de Navier-Stokes es filtren, donant com a resultat l'equació de continuïtat incompressible filtrada,
i les equacions de Navier-Stokes filtrades,
on és el camp de pressió filtrat i és el tensor de la velocitat de deformació avaluat utilitzant la velocitat filtrada. El terme d'advecció filtrada no lineal és la principal causa de dificultat en el modelatge LES. Requereix coneixement del camp de velocitats sense filtrar, que és desconegut, per la qual cosa s'ha de modelar. L'anàlisi següent il·lustra la dificultat causada per la no linealitat, és a dir, que provoca la interacció entre escales grans i petites, cosa que impedeix la separació d'escales.
Equacions governants compressibles Per a les equacions que regeixen el flux compressible, cada equació, començant per la conservació de la massa, es filtra. Això dóna:
la qual cosa resulta en un terme de subfiltre addicional. Tanmateix, és desitjable evitar haver de modelar les escales de subfiltre de l'equació de conservació de massa. Per aquest motiu, Favre va proposar una operació de filtratge ponderada per densitat, anomenada filtratge de Favre, definida per a una quantitat arbitrària com:
que, en el límit d'incompressibilitat, esdevé l'operació de filtratge normal. Això fa que l'equació de conservació de la massa sigui:
Aquest concepte es pot ampliar per escriure l'equació de moment filtrada per Favre per a un flux compressible. Seguint Vreman:
on és el tensor de tensió de cisallament, donat per a un fluid newtonià per:
i el terme representa una contribució viscosa del subfiltre a partir de l'avaluació de la viscositat utilitzant la temperatura filtrada per Favre El tensor de tensió de la subgraella per al camp de moment filtrat per Favre ve donat per
Mètodes numèrics per a LES La simulació de grans remolins implica la solució de les equacions governants filtrades discretes mitjançant la dinàmica de fluids computacional. La LES resol escales a partir de la mida del domini. fins a la mida del filtre , i com a tal, s'ha de resoldre una part substancial de les fluctuacions turbulentes d'alt nombre d'ona. Això requereix esquemes numèrics d'alt ordre o una resolució de malla fina si s'utilitzen esquemes numèrics de baix ordre. El capítol 13 de Pope aborda la qüestió de com de fina és una resolució de malla és necessari per resoldre un camp de velocitat filtrat . Ghosal va trobar que per a esquemes de discretització de baix ordre, com els que s'utilitzen en mètodes de volum finit, l'error de truncament pot ser del mateix ordre que les contribucions a l'escala del subfiltre, tret que l'amplada del filtre és considerablement més gran que l'espaiat de la quadrícula Tot i que els esquemes d'ordre parell tenen errors de truncament, no són dissipatius, i com que els models d'escala de subfiltre són dissipatius, els esquemes d'ordre parell no afectaran les contribucions del model d'escala de subfiltre tan fortament com els esquemes dissipatius.
Referències
Categoria:Dinàmica de fluids