La transformació de Prandtl-Glauert és una tècnica matemàtica que permet resoldre certs problemes de flux compressible mitjançant mètodes de càlcul de flux incompressible. També permet aplicar dades de flux incompressible a casos de flux compressible.
La transformació de Prandtl-Glauert és una tècnica matemàtica en aerodinàmica que s'utilitza per relacionar el flux subsònic compressible no viscós sobre perfils aerodinàmics prims o cossos esvelts amb un flux incompressible equivalent aplicant un ajust d'escalat de coordenades i potencial de velocitat, permetent l'aproximació dels efectes de compressibilitat a través de la teoria incompressible establerta. Aquesta transformació, vàlida per a nombres de Mach de corrent lliure M∞ < 1, introdueix un factor d'escalat β = 1 − M∞ 2, que estira les coordenades perpendiculars a la direcció del flux mentre comprimeix el potencial de velocitat en conseqüència. La transformació deriva de la linealització de les equacions de flux potencial compressible i es coneix com la regla de Prandtl-Glauert, que prediu que les forces aerodinàmiques augmenten a mesura que el nombre de Mach s'acosta a la unitat a causa de l'acumulació de densitat en fluxos compressibles. Històricament, Ludwig Prandtl va introduir el concepte en conferències al voltant de 1922, mentre que Hermann Glauert va proporcionar la primera derivació rigorosa en el seu article de 1928. Continua sent una pedra angular de l'aerodinàmica analítica per a l'anàlisi de flux subsònic. miniatura|Esbós sobre la singularitat de Prandtl-Glauert
Formulació matemàtica El flux compressible no viscós sobre cossos esvelts es regeix per l'equació de potencial compressible de petita pertorbació linealitzada:
juntament amb la condició de contorn de tangència de flux de petita pertorbació.
is the freestream Mach number, and are the surface-normal vector components. The unknown variable is the perturbation potential , and the total velocity is given by its gradient plus the freestream velocity which is assumed here to be along .
La formulació anterior només és vàlida si s'aplica l'aproximació de petites pertorbacions,
i a més a més que no hi ha flux transònic, aproximadament indicat pel requisit que el nombre de Mach local no superi la unitat.
La transformació de Prandtl-Glauert (PG) utilitza el factor de Prandtl-Glauert Consisteix a reduir totes les dimensions y i z i l'angle d'atac pel factor de el potencial per i el component x dels vectors normals per :
Això la geometria tindrà llavors vectors normals els components x dels quals es redueixen per dels originals:
L'equació del potencial de petita pertorbació es transforma aleshores en l'equació de Laplace,
i la condició de frontera de flux-tangència manté la mateixa forma.
Aquest és el problema del flux potencial incompressible sobre la transformada geometria. Es pot resoldre mitjançant mètodes incompressibles, com ara la teoria de perfils aerodinàmics prims, mètodes de xarxa de vòrtex, mètodes de panells, etc. El resultat és el potencial de pertorbació transformat o els seus components de gradient a l'espai transformat. El coeficient de pressió linealitzat físic s'obté llavors mitjançant la transformació inversa
que es coneix com a regla de Göthert.
Resultats Per a un flux bidimensional, el resultat net és que i també els coeficients de sustentació i moment s'incrementen pel factor :
on són els valors de flux incompressible per a l' original (sense escalar) geometria. Aquest resultat només en 2D es coneix com la Regla de Prandtl.
Per a fluxos tridimensionals, aquests simples Les escales NO s'apliquen. En comptes d'això, cal treballar amb l'escala geometria tal com s'ha indicat anteriorment i utilitzar la regla de Göthert per calcular la i posteriorment les forces i els moments. No són possibles resultats simples, excepte en casos especials. Per exemple, utilitzant la teoria de la línia sustentadora per a una ala el·líptica plana, el coeficient de sustentació és
on AR és la relació d'aspecte de l'ala. Cal tenir en compte que en el cas 2D on AR → ∞ això es redueix al cas 2D, ja que en un flux 2D incompressible per a un perfil alar pla tenim tal com ho dóna la teoria del perfil alar prim.
Limitacions La transformació PG funciona bé per a tots els nombres de Mach de flux lliure fins a 0,7 aproximadament, o una vegada que comença a aparèixer el flux transònic.
Referències
Categoria:Aerodinàmica