Equació de Young-Laplace

En física, l'equació de Young-Laplace equació que descriu la diferència de pressió capil·lar sostinguda a través de la interfície entre dos fluids estàtics, com l'aigua i l'aire, a causa del fenomen de la tensió superficial o tensió de paret, tot i que l'ús d'aquesta última només és aplicable si se suposa que la paret és molt prima. L'equació de Young-Laplace relaciona la diferència de pressió amb la forma de la superfície o paret i és fonamentalment important en l'estudi de les superfícies capil·lars estàtiques. És una afirmació del balanç de tensions normal per a fluids estàtics que es troben en una interfície, on la interfície es tracta com una superfície (gruix zero):on és la pressió de Laplace, la diferència de pressió a través de la interfície del fluid (la pressió exterior menys la pressió interior), és la tensió superficial (o tensió de paret), és la normal unitària que apunta cap a fora de la superfície, és la curvatura mitjana, i i són els radis principals de curvatura. Cal tenir en compte que només es considera la tensió normal, ja que una interfície estàtica només és possible en absència de tensió tangencial.

L'equació porta el nom de Thomas Young, que va desenvolupar la teoria qualitativa de la tensió superficial el 1805, i de Pierre-Simon Laplace, que va completar la descripció matemàtica l'any següent. De vegades també s'anomena equació de Young-Laplace-Gauss, ja que Carl Friedrich Gauss va unificar el treball de Young i Laplace el 1830, derivant tant l'equació diferencial com les condicions de contorn utilitzant els principis de treball virtual de Johann Bernoulli.

Pel·lícules de sabó Si la diferència de pressió és zero, com en una pel·lícula de sabó sense gravetat, la interfície assumirà la forma d'una superfície mínima.

Emulsions L'equació també explica l'energia necessària per crear una emulsió. Per formar les petites gotes molt corbades d'una emulsió, es requereix energia addicional per superar la gran pressió que resulta del seu petit radi.

La pressió de Laplace, que és més gran per a gotes més petites, provoca la difusió de molècules fora de les gotes més petites d'una emulsió i impulsa l'engruiximent de l'emulsió mitjançant la maduració d'Ostwald.

Pressió capil·lar en un tub miniatura|180x180px|Menisc esfèric amb un angle de mullament inferior a 90° En un tub prou estret (és a dir, amb un nombre d'enllaç baix) de secció transversal circular (radi a ), la interfície entre dos fluids forma un menisc que és una porció de la superfície d'una esfera amb radi R. El salt de pressió a través d'aquesta superfície està relacionat amb el radi i la tensió superficial γ per

Això es pot demostrar escrivint l'equació de Young-Laplace en forma esfèrica amb una condició de frontera d'angle de contacte i també una condició de frontera d'alçada prescrita, per exemple, a la part inferior del menisc. La solució és una porció d'una esfera, i la solució només existirà per a la diferència de pressió mostrada anteriorment. Això és significatiu perquè no hi ha cap altra equació o llei que especifiqui la diferència de pressió; l'existència d'una solució per a un valor específic de la diferència de pressió la prescriu.

El radi de l'esfera serà funció només de l'angle de contacte, θ, que al seu torn depèn de les propietats exactes dels fluids i del material del recipient amb el qual els fluids en qüestió entren en contacte/interactuen:

de manera que la diferència de pressió es pot escriure com:

class=mw-file-element|266x266pxPer mantenir l'equilibri hidroestàtic, la pressió capil·lar induïda es compensa mitjançant un canvi d'alçada, h, que pot ser positiu o negatiu, depenent de si l'angle de mullament és inferior o superior a 90°. Per a un fluid de densitat ρ:

on g és l'acceleració gravitatòria. Això es coneix de vegades com la llei de Jurin o l'alçada de Jurin en honor a James Jurin, que va estudiar l'efecte el 1718.See:

Per a un tub de vidre ple d'aigua a l'aire a nivell del mar:

γ = 0,0728 J/ m² a 20 °C θ = 20° (0,35 rad) ρ = 1000 kg/ m³ g = 9,8 m/ s²

i per tant, l'alçada de la columna d'aigua ve donada per: Així, per a un 2 mm d'amplada (1 tub de mm de radi), l'aigua pujaria 14 mm. Tanmateix, per a un tub capil·lar amb un radi de 0,1 mm, l'aigua pujaria 14 cm (unes 6 polzades).

Acció capil·lar i gravetat Quan s'inclouen també els efectes de la gravetat, per a una superfície lliure i per a una diferència de pressió entre els fluids igual a Δp al nivell h=0, hi ha un equilibri, quan la interfície està en equilibri, entre Δp, la pressió hidroestàtica i els efectes de la tensió superficial. L'equació de Young-Laplace esdevé:

Cal tenir en compte que la curvatura mitjana de la interfície fluid-fluid ara depèn de h .

L'equació es pot adimensionalitzar en termes de la seva escala de longitud característica, la longitud capil·lar:

i pressió característica

Per a aigua neta a temperatura i pressió estàndard, la longitud capil·lar és d'uns 2 mm .

L'equació adimensional esdevé aleshores:

Així, la forma de la superfície només ve determinada per un paràmetre, la sobrepressió del fluid, Δ p *, i l'escala de la superfície ve donada per la longitud capil·lar. La solució de l'equació requereix una condició inicial per a la posició i el gradient de la superfície en el punt inicial.

Equacions axisimètriques La forma (adimensional), r(z), d'una superfície axisimètrica es pot trobar substituint expressions generals per a les curvatures principals per obtenir les equacions hidroestàtiques de Young-Laplace :

Aplicació en medicina En medicina sovint es coneix com la llei de Laplace, utilitzada en el context de la fisiologia cardiovascular, i també en fisiologia respiratòria, tot i que aquest darrer ús sovint és erroni.

Història Francis Hauksbee va realitzar algunes de les primeres observacions i experiments el 1709 i James Jurin les va repetir el 1718, observant que l'alçada del fluid en una columna capil·lar era funció només de l'àrea de la secció transversal a la superfície, no de cap altra dimensió de la columna.

Thomas Young va establir les bases de l'equació en el seu article de 1804 *An Essay on the Cohesion of Fluids on va exposar en termes descriptius els principis que regeixen el contacte entre fluids (juntament amb molts altres aspectes del comportament dels fluids). Pierre Simon Laplace va continuar això a *Mécanique Céleste amb la descripció matemàtica formal donada anteriorment, que reproduïa en termes simbòlics la relació descrita anteriorment per Young.

Laplace va acceptar la idea proposada per Hauksbee al seu llibre Experiments fisicomecànics (1709), que el fenomen es devia a una força d'atracció insensible a distàncies sensibles. La part que tracta de l'acció d'un sòlid sobre un líquid i l'acció mútua de dos líquids no es va treballar a fons, però finalment va ser completada per Carl Friedrich Gauss. Franz Ernst Neumann (1798-1895) va completar més tard alguns detalls.

Referències

Categoria:Dinàmica de fluids