La fórmula de Bhaskara o fórmula general per a les equacions quadràtiques és una regla general que permet determinar les arrels d'un polinomi de segon grau. Va ser inventada pel famós matemàtic indi Bhaskara.
El que es busca és determinar els valors per als quals l'equació té solució, amb .
Demostració senzilla per canvi de variable Demostració per trasllat de la funció:
L'equació de segon grau representa una paràbola, i el seu mínim o màxim el trobem igualant la seva derivada a 0. És a dir, el punt en què el pendent és 0.
1 - Traslladarem la funció de manera que aquest punt es trobi a l'eix "x". D'aquesta forma, l'eix "y", dividirà la funció en dues parts simètriques:
Matemàticament, això equival al següent canvi de variable:
2 - Trobem les arrels de l'equació, és a dir, resolem , que ens donarà dues solucions simètriques respecte l'eix y:
3 - Ja només ens queda desfer el canvi de variable:
Demostració per canvi de variable:
Una altra manera de fer-ho és simplificar aplicant el canvi de variable i . Així, després de dividir per a en ambdós costats, l'equació queda:
S'aplica el canvi de variable
Sumant per ajustar quadrats, i restant n en tots dos membres:
I seguidament contraient el binomi de la següent manera:
Ara s'aplica l'arrel quadrada a banda i banda:
Restem a banda i banda:
Finalment, desfent la substitució, i :
I operant s'obté la següent equació simplificada:
Demostració original Partint de l'equació:
, amb
Es multiplica per :
Seguidament se suma :
Reordenant s'observa que és el quadrat de la suma i, per tant:
I contraient la identitat notable:
Apliquem com a les demostracions anteriors l'arrel quadrada a banda i banda:
Restant a banda i banda de la igualtat:
Com , es divideix entre sense conflicte:
Vegeu també Equació de segon grau
Referències
Enllaços externs Demostració: Fórmula Resolvent Categoria:Polinomis