Funció hipergeomètrica generalitzada

alt=Plot of the generalized hypergeometric function pFq(a b z) with a=(2,4,6,8) and b=(2,3,5,7,11) in the complex plane from -2-2i to 2+2iPlot of the generalized hypergeometric function pFq(a b z) with a=(2,4,6,8) and b=(2,3,5,7,11) in the complex plane from -2-2i to 2+2i created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D|miniatura|Gràfic de la funció hipergeomètrica generalitzada pFq(abz) amb a=(2,4,6,8) i b=(2,3,5,7,11) en el pla complex des de -2-2i fins a 2+2i creat amb la funció ComplexPlot3D de Mathematica 13.1. En matemàtiques, una sèrie hipergeomètrica generalitzada és una sèrie de potències en què la relació dels coeficients successius indexats per n és una funció racional de n. La sèrie, si convergeix, defineix una funció hipergeomètrica generalitzada, que després es pot definir sobre un domini més ampli de l'argument mitjançant la continuació analítica. La sèrie hipergeomètrica generalitzada de vegades s'anomena simplement sèrie hipergeomètrica, tot i que aquest terme de vegades també es refereix a la sèrie hipergeomètrica gaussiana. Les funcions hipergeomètriques generalitzades inclouen la funció hipergeomètrica (gaussiana) i la funció hipergeomètrica confluent com a casos especials, que al seu torn tenen moltes funcions especials particulars com a casos especials, com ara funcions elementals, funcions de Bessel i els polinomis ortogonals clàssics.

Notació Una sèrie hipergeomètrica es defineix formalment com una sèrie de potències

en què la relació de coeficients successius és una funció racional de n. És a dir,

on A ( n) i B ( n) són polinomis en n.

Per exemple, en el cas de la sèrie per a la funció exponencial,

tenim:

Així doncs, això satisfà la definició amb i .

És habitual factoritzar el terme principal, de manera que se suposa que β 0 és 1. Els polinomis es poden factoritzar en factors lineals de la forma ( a j + n) i ( bk + n) respectivament, on a j i b k són nombres complexos.

Per raons històriques, se suposa que (1 + n) és un factor de B. Si això no és ja el cas, tant A com B es poden multiplicar per aquest factor; el factor es cancel·la, de manera que els termes no canvien i no hi ha pèrdua de generalitat.

La relació entre coeficients consecutius ara té la forma

on c i d són els coeficients principals d' A i B. La sèrie té llavors la forma

o, escalant z pel factor adequat i reorganitzant,

Això té la forma d'una funció generadora exponencial. Aquesta sèrie es denota normalment per

o

Ús del factorial creixent o símbol de Pochhammer

on representa la funció gamma, això es pot escriure

(Tingueu en compte que aquest ús del símbol de Pochhammer no és estàndard; tanmateix, és l'ús estàndard en aquest context.)

Terminologia Quan tots els termes de la sèrie estan definits i té un radi de convergència diferent de zero, aleshores la sèrie defineix una funció analítica. Aquesta funció, i les seves continuacions analítiques, s'anomena funció hipergeomètrica.

El cas en què el radi de convergència és 0 produeix moltes sèries interessants en matemàtiques, per exemple, la funció gamma incompleta té l'expansió asimptòtica

que es podria escriure z a −1 e −z 2 F 0 (1 − a ,1;; − z −1 ). Tanmateix, l'ús del terme sèrie hipergeomètrica normalment es restringeix al cas en què la sèrie defineix una funció analítica real.

La sèrie hipergeomètrica ordinària no s'ha de confondre amb la sèrie hipergeomètrica bàsica, que, malgrat el seu nom, és una sèrie força més complicada i recòndita. La sèrie "bàsica" és el q-anàleg de la sèrie hipergeomètrica ordinària. Hi ha diverses generalitzacions d'aquest tipus de la sèrie hipergeomètrica ordinària, incloses les que provenen de funcions esfèriques zonals en espais simètrics riemannians.

La sèrie sense el factor n ! al denominador (suma sobre tots els enters n, inclosos els negatius) s'anomena sèrie hipergeomètrica bilateral.

Condicions de convergència Hi ha certs valors de a j i b k per als quals el numerador o el denominador dels coeficients és 0.

Si qualsevol a j és un enter no positiu (0, −1, −2, etc.), aleshores la sèrie només té un nombre finit de termes i és, de fet, un polinomi de grau − a j. Si qualsevol b k és un enter no positiu (excepte el cas anterior amb b k < a j ), aleshores els denominadors esdevenen 0 i la sèrie no està definida.

Excloent aquests casos, es pot aplicar la prova de raó per determinar el radi de convergència.

Si p < q + 1, aleshores la relació de coeficients tendeix a zero. Això implica que la sèrie convergeix per a qualsevol valor finit de z i, per tant, defineix una funció sencera de z. Un exemple és la sèrie de potències per a la funció exponencial. Si p = q + 1, aleshores la relació de coeficients tendeix a la unitat. Això implica que la sèrie convergeix per a | z | < 1 i divergeix per a | z | > 1. Si convergeix per a | z | = 1 és més difícil de determinar. La continuació analítica es pot emprar per a valors més grans de z. Si p > q + 1, aleshores la relació de coeficients creix sense límit. Això implica que, a més de z = 0, la sèrie divergeix. Aleshores, es tracta d'una sèrie divergent o asimptòtica, o es pot interpretar com una abreviatura simbòlica d'una equació diferencial que la suma satisfà formalment.

Si p < q + 1, aleshores la relació de coeficients tendeix a zero. Això implica que la sèrie convergeix per a qualsevol valor finit de z i, per tant, defineix una funció sencera de z. Un exemple és la sèrie de potències per a la funció exponencial. Si p = q + 1, aleshores la relació de coeficients tendeix a la unitat. Això implica que la sèrie convergeix per a | z | < 1 i divergeix per a | z | > 1. Si convergeix per a | z | = 1 és més difícil de determinar. La continuació analítica es pot emprar per a valors més grans de z. Si p > q + 1, aleshores la relació de coeficients creix sense límit. Això implica que, a més de z = 0, la sèrie divergeix. Aleshores, es tracta d'una sèrie divergent o asimptòtica, o es pot interpretar com una abreviatura simbòlica d'una equació diferencial que la suma satisfà formalment.

A més, si p = q +1, i z és real, aleshores el següent resultat de convergència es compleix :

Propietats bàsiques De la definició es desprèn immediatament que l'ordre dels paràmetres a j o l'ordre dels paràmetres b k es pot canviar sense canviar el valor de la funció. A més, si algun dels paràmetres a j és igual a qualsevol dels paràmetres b k, els paràmetres coincidents es poden "cancel·lar", amb certes excepcions quan els paràmetres són nombres enters no positius. Per exemple,

Aquesta cancel·lació és un cas especial d'una fórmula de reducció que es pot aplicar sempre que un paràmetre de la fila superior difereixi d'un de la fila inferior en un enter no negatiu.

Referències

Categoria:Funcions hipergeomètriques