En matemàtiques, una àlgebra de Kac-Moody (anomenada així per Victor Kac i Robert Moody, que les van descobrir de manera independent i simultània el 1968) és una àlgebra de Lie, generalment de dimensió infinita, que es pot definir mitjançant generadors i relacions a través d'una matriu de Cartan generalitzada. Aquestes àlgebres formen una generalització de les àlgebres de Lie semisimples de dimensió finita, i moltes propietats relacionades amb l'estructura d'una àlgebra de Lie, com ara el seu sistema d'arrels, les representacions irreductibles i la connexió a varietats de banderes, tenen anàlegs naturals en l'entorn de Kac-Moody.

Una classe d'àlgebres de Kac-Moody anomenades àlgebres de Lie afins és de particular importància en matemàtiques i física teòrica, especialment en la teoria de camps conformes bidimensionals i la teoria de models exactament resolubles. Kac va descobrir una prova elegant de certes identitats combinatòries, les identitats de Macdonald, que es basa en la teoria de representació de les àlgebres afins de Kac-Moody. Howard Garland i James Lepowsky van demostrar que les identitats de Rogers-Ramanujan es poden derivar de manera similar.(?)

Història de les àlgebres de Kac-Moody La construcció inicial per part d'Élie Cartan i Wilhelm Killing d'àlgebres de Lie simples de dimensió finita a partir dels enters de Cartan era dependent del tipus. El 1966, Jean-Pierre Serre va demostrar que les relacions de Claude Chevalley i Harish-Chandra, amb simplificacions de Nathan Jacobson, donen una presentació definidora per a l'àlgebra de Lie. Així, es podria descriure una àlgebra de Lie simple en termes de generadors i relacions utilitzant dades de la matriu d'enters de Cartan, que naturalment és definida positiva.

"Gairebé simultàniament el 1967, Victor Kac a l'URSS i Robert Moody al Canadà van desenvolupar el que es convertiria en l'àlgebra de Kac-Moody. Kac i Moody van notar que si les condicions de Wilhelm Killing es relaxaven, encara era possible associar a la matriu de Cartan una àlgebra de Lie que, necessàriament, seria de dimensió infinita." – AJ ColemanColeman, A. John, "The Greatest Mathematical Paper of All Time," The Mathematical Intelligencer, vol. 11, no. 3, p. 29–38.

En la seva tesi de 1967, Robert Moody va considerar les àlgebres de Lie la matriu de Cartan de les quals ja no és definida positiva.Moody 1968, A new class of Lie algebras Això encara va donar lloc a una àlgebra de Lie, però que ara és de dimensió infinita. Simultàniament, les àlgebres de Lie amb graduació Z s'estudiaven a Moscou, on IL Kantor va introduir i estudiar una classe general d'àlgebres de Lie, incloent-hi el que finalment es va conèixer com a àlgebres de Kac-Moody. Victor Kac també estudiava àlgebres de Lie simples o gairebé simples amb creixement polinòmic. Es va desenvolupar una rica teoria matemàtica de les àlgebres de Lie de dimensió infinita. Un relat del tema, que també inclou treballs de molts altres, es dóna a (Kac 1990).Kac, 1990 Vegeu també (Seligman 1987).

Introducció Donada una matriu de Cartan generalitzada n × n , es pot construir una àlgebra de Lie definit per generadors , , i i les relacions donades per:

per tot ;

, on és el delta de Kronecker; If (so ) llavors i , on és la representació adjunta de .

Sota una suposició de "simetrizabilitat", s'identifica amb la subàlgebra derivada de l'àlgebra afí de Kac-Moody definit a continuació.Kac 1990, Infinite dimensional Lie Algebras, Third Edition

Definició Suposem que se'ns dóna un matriu de Cartan generalitzada de rang r. Per a cada tal , existeix una única realització fins a l'isomorfisme de , és a dir, un triplet ) on és un espai vectorial complex, és un subconjunt d'elements de , i és un subconjunt de l'espai dual complint les tres condicions següents:Kac 1990, Infinite dimensional Lie algebras, Proposition 1.1

L'espai vectorial té dimensió 2 n − r Els conjunts i són linealment independents i Per a cada .

El són anàlogues a les arrels simples d'una àlgebra de Lie semisimple, i la a les corotes simples.

Aleshores definim l' àlgebra de Kac-Moody associada a com l'àlgebra de Lie definit per generadors i i els elements de i relacions

per ; , per ; , per ; , on és el delta de Kronecker; If (so ) llavors i , on és la representació adjunta de .

Una àlgebra de Lie real (possiblement de dimensió infinita) també es considera una àlgebra de Kac-Moody si la seva complexificació és una àlgebra de Kac-Moody.

Tipus d'àlgebres de Kac-Moody Les propietats d'una àlgebra de Kac-Moody estan controlades per les propietats algebraiques de la seva matriu de Cartan generalitzada C. Per classificar les àlgebres de Kac-Moody, n'hi ha prou amb considerar el cas d'una matriu indescomponible C, és a dir, assumir que no hi ha cap descomposició del conjunt d'índexs I en una unió disjunta de subconjunts no buits I₁ i I₂ tals que C₁ij = 0 per a tot i a I₁ i j a I₂. Qualsevol descomposició de la matriu de Cartan generalitzada condueix a la descomposició en suma directa de l'àlgebra de Kac-Moody corresponent:

on les dues àlgebres de Kac-Moody del costat dret estan associades amb les submatrius de C corresponents als conjunts d'índexs I₁ i I₂.

Una subclasse important d'àlgebres de Kac-Moody correspon a les matrius de Cartan generalitzades simetritzables C, que es poden descompondre com DS, on D és una matriu diagonal amb entrades enteres positives i S és una matriu simètrica. Sota els supòsits que C és simetritzable i indescomponible, les àlgebres de Kac-Moody es divideixen en tres classes:

Una matriu definida positiva S dóna lloc a una àlgebra de Lie simple de dimensió finita. Una matriu semidefinida positiva S dóna lloc a una àlgebra de Kac-Moody de dimensió infinita de tipus afí, o una àlgebra de Lie afí. Una matriu indefinida S dóna lloc a una àlgebra de Kac-Moody de tipus indefinit. Com que les entrades diagonals de C i D són positives, S no pot ser definit negatiu ni semidefinit negatiu.

Les matrius de Cartan generalitzades simetritzables i indescomposables de tipus finit i afí s'han classificat completament. Corresponen a diagrames de Dynkin i diagrames de Dynkin afins. Se sap poca cosa sobre les àlgebres de Kac-Moody de tipus indefinit, tot i que els grups corresponents a aquestes àlgebres de Kac-Moody van ser construïts sobre camps arbitraris per Jacques Tits.

Entre les àlgebres de Kac-Moody de tipus indefinit, la majoria dels treballs s'han centrat en aquelles de tipus hiperbòlic, per a les quals la matriu S és indefinida, però per a cada subconjunt propi d' I, la submatriu corresponent és definida positiva o semidefinida positiva. Les àlgebres hiperbòliques de Kac-Moody tenen un rang com a màxim 10 i s'han classificat completament. N'hi ha infinites de rang 2 i 238 de rangs entre 3 i 10.

Referències

Categoria:Àlgebra abstracta