La solució de Becker-Morduchow-Libby és una descripció matemàtica de com canvien les propietats d'un gas, com ara la pressió, la temperatura i la densitat, dins d'una ona de xoc unidimensional. És una solució exacta de les equacions de Navier-Stokes per a un gas compressible, viscós i conductor de calor. Derivada per primera vegada en una forma simplificada pel físic alemany Richard Becker el 1922, va ser ampliada posteriorment per Morris Morduchow i Paul A. Libby el 1949.Becker, R. (1922). Stosswelle und detonation. Zeitschrift für Physik, 8(1), 321-362.Morduchow, M., & Libby, P. A. (1949). On a complete solution of the one-dimensional flow equations of a viscous, heat-conducting, compressible gas. Journal of the Aeronautical Sciences, 16(11), 674-684. M. Roy i LH Thomas també van trobar versions independents el 1944.Roy, M., Compt. Rend. Acad. Sci., 218, 813 (1944)Thomas, L. H., Jour. Chem. Phys., 12, 449 (1944) La solució va revelar una característica inesperada: l'entropia del gas pot variar de manera no monòtona al llarg del xoc, en lloc d'augmentar constantment. Treballs anteriors de Lord Rayleigh i G.I. Taylor havien abordat casos especials, com ara fluxos amb viscositat però sense conducció de calor, o viceversa.Rayleigh, L. (1910). Aerial plane waves of finite amplitude. Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character, 84(570), 247-284.Taylor, G. I. (1910). The conditions necessary for discontinuous motion in gases. Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character, 84(571), 371-377.Taylor, G. I., & Maccoll, J. W. (1935). The mechanics of compressible fluids. Durand, Aerodynamic theory, 3.
Descripció matemàtica En un sistema de referència fixat amb una ona de xoc planar, l'ona de xoc és estacionària. En aquest sistema de referència, les equacions estacionàries de Navier-Stokes per a un gas viscós i conductor de calor es poden escriure com on és la densitat, és la velocitat, és la pressió, és l'energia interna per unitat de massa, és la temperatura, és un coeficient efectiu de viscositat, és el coeficient de viscositat, és la segona viscositat i és la conductivitat tèrmica. Per a aquest conjunt d'equacions, cal prescriure una equació d'estat i una expressió per a l'energia en termes de dues variables termodinàmiques qualssevol, per exemple En lloc de , és convenient treballar amb l'entalpia específica
Denotem les propietats pertanyents aigües amunt del xoc amb el subíndex "" i aigües avall amb "". La velocitat de l'ona de xoc en si mateixa es denota per La primera integral de les equacions governants, després d'imposar la condició que tots els gradients s'anul·lin aigües amunt, es troba que és
Avaluant-les al costat riu avall, on tots els gradients desapareixen, es recuperen les conegudes condicions de Rankine-Hugoniot, , i La integració posterior de les equacions anteriors requereix càlculs numèrics, excepte en un cas especial en què la integració es pot dur a terme analíticament.
Solució analítica miniatura|300x300px|Solució de Becker-Morduchow-Libby Cal fer dues suposicions per facilitar la integració explícita de la tercera equació. Primer, suposar que el gas és ideal (politròpic, ja que assumirem valors constants per a les calors específiques), en aquest cas l'equació d'estat és i més enllà , on és la calor específica a pressió constant i és la relació calorífica específica. La tercera equació esdevé aleshores
on és el nombre de Prandtl basat en quan , per exemple, com en els gasos monoatòmics, aquest nombre de Prandtl és simplement el nombre de Prandtl ordinari La segona suposició feta és de manera que els termes dins del parèntesi es converteixen en una derivada total, és a dir, Aquesta és una aproximació raonablement bona, ja que en gasos normals, el nombre de Pradntl és aproximadament igual a Amb aquesta aproximació i integrant una vegada més imposant la condició que està delimitat riu avall, trobemZel'Dovich, Y. B., & Raizer, Y. P. (2002). Physics of shock waves and high-temperature hydrodynamic phenomena. Courier Corporation.
Aquesta relació anterior indica que la quantitat es conserva a tot arreu, no només al costat aigües amunt i aigües avall. Com que per al gas politròpic , on és el volum específic i és la velocitat del so, l'equació anterior proporciona la relació entre la proporció i la relació de velocitat (o densitat o volum específic) corresponent
és a dir,
on és el nombre de Mach de l'ona respecte aigües amunt i Combinant això amb les integrals de moment i continuïtat, obtenim l'equació per a de la següent manera
Podem introduir la coordenada ponderada per viscositat recíprocaWeiss, A. D., Vera, M., Liñán, A., Sánchez, A. L., & Williams, F. A. (2018). A novel formulation for unsteady counterflow flames using a thermal-conductivity-weighted coordinate. Combustion Theory and Modelling, 22(1), 185-201.
on , de manera que
L'equació mostra clarament la invariància de translació en el -direcció que es pot fixar, per exemple, fixant l'origen com la ubicació on es troba el valor intermedi s'assoleix. Utilitzant aquesta última condició, es calcula que la solució d'aquesta equació és
Com (o, ), tenim i com (o, ), tenim Això finalitza la cerca de la solució analítica. A partir d'aquí, es poden avaluar altres variables termodinàmiques d'interès. Per exemple, la relació de temperatures es troba donat per
i l'entropia específica
, per
La solució analítica es representa gràficament a la figura de i La característica destacable és que l'entropia no augmenta monòtonament al llarg de l'ona de xoc, sinó que augmenta fins a un valor més gran i després disminueix fins a una constant darrere de l'ona de xoc. Aquest escenari és possible a causa de la conducció de calor, com es farà evident si observem l'equació d'entropia que s'obté de l'equació d'energia original substituint la relació termodinàmica. , és a dir,
Mentre que la dissipació viscosa associada amb el terme sempre augmenta l'entropia, la conducció de calor augmenta l'entropia a les capes més fredes on , mentre que disminueix l'entropia a les capes més calentes on .
Solució de Taylor: Ones de xoc febles Quan , la solució analítica només és possible en el límit feble de l'ona de xoc, tal com va demostrar per primera vegada GI Taylor el 1910. En el límit feble de l'ona de xoc, tots els termes com ara , etc., serà petit. El gruix de l'ona de xoc és de l'ordre de manera que la diferenciació respecte a augmenta la petitesa de l'ordre en un; p. ex. és una quantitat petita de segon ordre. Sense entrar en detalls i tractar el gas com un gas genèric (no només politròpic), la solució per a es troba que està relacionat amb la solució d'ona viatgera estacionària de l'equació de Burgers i ve donat perLandau, L. D., & Lifshitz, E. M. (2013). Fluid mechanics: Landau And Lifshitz: course of theoretical physics, Volume 6 (Vol. 6). Elsevier.
on
en què és la derivada de Landau (per a gas politròpic ) i és una constant que, multiplicada per una freqüència característica al quadrat, proporciona el coeficient d'absorció acústica.Clavin, P., & Searby, G. (2016). Combustion waves and fronts in flows: flames, shocks, detonations, ablation fronts and explosion of stars. Cambridge University Press. Es troba que l'entropia específica és proporcional a i ve donat per
Tingueu en compte que és una quantitat petita de segon ordre, tot i que és una quantitat petita de tercer ordre, com es pot deduir de l'expressió anterior, que demostra que per a tots dos Això està permès des de , a diferència de , passa per un màxim dins de l'ona de xoc.
Validesa de la hipòtesi del continu: ja que la velocitat tèrmica de les molècules és de l'ordre i la viscositat cinemàtica és de l'ordre , on és el recorregut lliure mitjà de les molècules de gas, tenim ; una estimació basada en la conducció de calor dóna el mateix resultat. Combinant això amb la relació , demostra que
és a dir, el gruix de l'ona de xoc és de l'ordre del recorregut lliure mitjà de les molècules. Tanmateix, en la hipòtesi del continu, el recorregut lliure mitjà es pren com a zero. D'això es desprèn que les equacions del continu per si soles no es poden utilitzar estrictament per descriure l'estructura interna de les ones de xoc fortes; en ones de xoc febles, es pot fer tan petit com sigui possible per fer gran.
La solució de Rayleigh Aquí es presenten dos problemes que originalment va considerar Lord Rayleigh.
Fluids amb conducció de calor i sense viscositat (Pr ′ → 0) El problema quan es negligeix la viscositat però es permet la conducció de calor és de gran interès en el context astrofísic a causa de la presència d'altres mecanismes d'intercanvi de calor com la transferència de calor per radiació, la transferència de calor d'electrons en plasmes, etc. La negligència de la viscositat significa que les forces viscoses a l'equació de moment i la dissipació viscosa a l'equació d'energia desapareixen. Per tant, la primera integral de les equacions governants es dóna simplement per
Totes les ràtios requerides es poden expressar en termes de immediatament,
Eliminant a partir de les dues últimes equacions, es pot obtenir l'equació , que es pot integrar. Resulta que no hi ha una solució contínua per a ones de xoc fortes, precisament quan
per aquesta condició esdevé
Fluids amb viscositat i sense conducció de calor (Pr ′ → ∞ ) Aquí es poden trobar solucions contínues per a totes les intensitats de l'ona de xoc. A més, aquí l'entropia augmenta monòtonament al llarg de l'ona de xoc a causa de l'absència de conducció de calor. Aquí les primeres integrals vénen donades per
Es poden eliminar els termes viscosos en les dues últimes equacions i obtenir una relació entre i . Si substituïm això en qualsevol de les equacions, obtenim una equació per a , que es poden integrar.
Referències
Categoria:Dinàmica de fluids