En matemàtiques, l'equació biharmònica és una equació diferencial parcial de quart ordre que sorgeix en àrees de la mecànica del medis continu, incloent-hi la teoria de l'elasticitat lineal i la solució dels fluxos d'Stokes. Específicament, s'utilitza en la modelització d'estructures primes que reaccionen elàsticament a forces externes.
Notació Està escrit com o o on , que és la quarta potència de l'operador del i el quadrat de l'operador laplacià (o ), es coneix com a operador biharmònic o operador bilaplacià. En coordenades cartesianes, es pot escriure en dimensions com: Com que la fórmula aquí conté una suma d'índexs, molts matemàtics prefereixen la notació més de perquè el primer deixa clar quin dels índexs dels quatre operadors nabla es contrau.
Per exemple, en coordenades cartesianes tridimensionals, l'equació biharmònica té la forma Com a un altre exemple, en un espai de coordenades reals n -dimensional sense l'origen , on que mostra, només per a n = 3 i n = 5, és una solució de l'equació biharmònica.
Una solució a l'equació biharmònica s'anomena funció biharmònica. Qualsevol funció harmònica és biharmònica, però el contrari no sempre és cert.
En coordenades polars bidimensionals, l'equació biharmònica és que es pot resoldre per separació de variables. El resultat és la solució de Michell.
Espai bidimensional La solució general per al cas bidimensional és on , i són funcions harmòniques i és un conjugat harmònic de .
De la mateixa manera que les funcions harmòniques en 2 variables estan estretament relacionades amb les funcions analítiques complexes, també ho estan les funcions biharmòniques en 2 variables. La forma general d'una funció biharmònica en 2 variables també es pot escriure com on i són funcions analítiques.
Referències
Categoria:Càlcul diferencial