La desigualtat de Clausius-Duhem és la forma de la segona llei de la termodinàmica utilitzada en la mecànica del continu.
La formulació matemàtica d'aquesta llei, com totes les altres lleis físiques, no fa cap afirmació sobre les propietats individuals dels cossos. Per tant, per determinar el comportament termodinàmic d'un cos específic, cal un model material que descrigui el seu comportament específic del material.
La desigualtat de Clausius-Duhem s'ha d'interpretar menys com una restricció dels processos físics i més com un requisit per a les equacions constitutives d'un model material: s'ha d'assegurar que la desigualtat de Clausius-Duhem es compleixi amb les equacions materials per a qualsevol procés donat. Això sovint resulta en rangs de valors dins dels quals han de situar-se els paràmetres materials d'un model. Per exemple, en la plasticitat ideal de l'exemple donat, se'n dedueix que les constants de Lamé són positives.
Balanç d'entropia El balanç d'entropia descriu com canvia l'entropia d'un cos a causa d'influències externes. Si s és l'entropia específica, el flux d'entropia per àrea l'oferta d'entropia específica i La producció d'entropia específica ve donada per la següent fórmula: aleshores el balanç d'entropia és:
En aquesta equació, v és el volum que ocupa el cos, a és la superfície del cos, l'element de superfície La normal del cos orientada cap a l'exterior i d/dt la derivada respecte al temps (canvi de temps). El signe negatiu de l'últim terme indica una entrada d'entropia si el flux d'entropia es dirigeix cap a l'interior del cos.
La segona llei de la termodinàmica La segona llei de la termodinàmica expressa l'observació que el treball mecànic es pot convertir completament en calor, però la conversió de calor en energia mecànica només té un èxit parcial. La dissipació del treball mecànic en calor va acompanyada de la producció d'entropia, que per tant no ha de ser negativa.
Desigualtat de Clausius-Duhem A partir de la termodinàmica d'equilibri dels sistemes homogenis, se sap que el flux d'entropia és el quocient del flux de calor. i la temperatura absoluta T, i es postula una relació similar entre la producció de calor específica r i la producció d'entropia:
Basant-nos en aquestes suposicions, la formulació global de la desigualtat de Clausius-Duhem es deriva de la segona llei de la termodinàmica:
Si utilitzem el teorema de la divergència, la regla del producte i el balanç local de massa i energia, obtenim la formulació local.
És el tensor de tensions de Cauchy, d la velocitat de deformació, i ":" el producte escalar de Frobenius. Aquest producte escalar dóna la potència de les tensions al llarg d'una trajectòria de deformació durant la deformació d'un cos. A més, Energia lliure de Helmholtz i grad(T) el gradient de temperatura (un vector amb dimensió temperatura per longitud que apunta en la direcció de l'augment de temperatura més pronunciat).
En el cas especial important on es poden negligir els canvis de temperatura, aquesta forma local es simplifica a:
Per tant, la potència de voltatge específica sempre ha de ser més gran que la producció d'energia lliure. L'excés es dissipa. La forma local s'ha d'interpretar menys com una limitació dels processos físics i més com un requisit per als models materials: s'ha d'assegurar que la forma local de la desigualtat de Clausius-Duhem sigui satisfeta per les equacions materials per a qualsevol procés. A continuació es mostra una aplicació a l'exemple de plasticitat ideal isotèrmica.
Aquestes fórmules, derivades des de la perspectiva d'Euler, es llegeixen de la següent manera en la versió de Lagrange:
Formulari global:
Forma local:
Procés isotèrmic:
Les quantitats indexades amb zero són les que s'expressen mitjançant coordenades de material. el segon tensor de tensions de Piola-Kirchhoff, la taxa de distorsió del material, DEGREE el gradient respecte a les coordenades de les partícules del cos en l'estat inicial no deformat (coordenades del material) i és la normal que apunta cap a fora a la superfície del cos en el seu estat inicial no deformat.
Exemple de plasticitat ideal isotèrmica La plasticitat ideal isotèrmica a petites deformacions s'utilitza per demostrar fins a quin punt la desigualtat de Clausius-Duhem ajuda a formular equacions de materials termodinàmicament consistents.
En la plasticitat ideal, no es produeix solidificació durant el flux plàstic, és a dir, en altres paraules, la corba tensió-deformació té un perfil horitzontal durant la fluència uniaxial en una prova de tracció. L'argila és aproximadament idealment plàstica. A la pràctica, aquest model s'utilitza quan només es coneix el límit elàstic i no s'ha de sobreestimar la rigidesa d'un component en calcular-ne les propietats.
La variable constitutiva és la deformació total ε i la propietat del material és el tensor de tensió σ. Per a petites deformacions,
El material posseeix una regió elàstica, on reacciona elàsticament, i una regió plàstica, on es produeix un flux plàstic. Aquest flux està representat per la deformació plàstica εp, que és una variable interna del model. Per tant, la deformació plàstica no es pot influenciar directament ni predeterminar des de l'exterior. La diferència entre la deformació total i la deformació plàstica és la deformació elàstica εe, que per si sola determina les tensions. La deformació total es descompon així en un component elàstic i un component plàstic.
La funció de flux separa el rang elàstic del plàstic:
Aquí, entren en joc el desviador de tensió σD i el límit elàstic k, que és un paràmetre del material. En el rang elàstic, f < 0 i En flux plàstic, f = 0, i per tant
que és la característica especial de la plasticitat ideal. A l'esquerra de l'equació hi ha la tensió equivalent de von Mises
Se suposa que l'energia lliure de Helmholtz només depèn de les deformacions elàstiques:
.
Aquests requisits previs són suficients per establir un marc aproximat per al model de plasticitat.
La desigualtat de Clausius-Duhem dóna:Die Fréchet-Ableitung einer Funktion nach ist der beschränkte lineare Operator der - sofern er existiert - in alle Richtungen dem Gâteaux-Differential entspricht, also
Aquesta desigualtat ha de ser certa per a tots els processos possibles. En el rang elàstic ( Això es pot aconseguir escollint una relació tensió-deformació hiperelàstica:
A la zona de plàstic () ha de Això s'aplica a tots els processos que es poden aconseguir amb una regla de flux associada:Die Fréchet-Ableitung einer Funktion nach ist der beschränkte lineare Operator der - sofern er existiert - in alle Richtungen dem Gâteaux-Differential entspricht, also
El factor de proporcionalitat és el multiplicador plàstic.
En el flux plàstic, les deformacions elàstiques romanen constants, per això Això s'aplica. Com que la taxa de deformació plàstica En el flux desviatori, la traça de la velocitat de deformació, que és igual al canvi de volum local, desapareix. Per aquest motiu, la densitat és constant durant el flux plàstic.
Segons la desigualtat de Clausius-Duhem, la potència de les tensions a les deformacions plàstiques no ha de ser negativa:
És per això que el multiplicador plàstic no pot ser negatiu. Es calcula a partir de la condició de consistència.
Conté El tensor d'elasticitat. El multiplicador plàstic és definitivament positiu si el numerador i el denominador de la fracció del costat dret de la seva equació definidora són positius:
Primer, cal que les tensions no desapareguin durant el flux plàstic, és a dir, que el límit elàstic k sigui positiu. El numerador de la fracció conté la condició de càrrega, és a dir, h. el flux plàstic només hauria de començar quan s'aplica. i Existeix una càrrega neutra, sota la qual no es produeix flux plàstic. La llei de Hooke estableix... En aquesta equació, I és el tensor identitat del segon i el quart nivell i Aquestes són la primera i la segona constants de Lamé. Per tant, aquí també seria possible un mòdul d'empenta positiu. a exigir. El denominador sempre és positiu si el tensor d'elasticitat és definit positiu. En el cas de la llei de Hooke, aquesta condició es compleix si les constants de Lamé són positives.
La taula enumera totes les propietats del model derivades de la desigualtat de Clausius-Duhem: CaracterísticaCondiciófórmulaRelació tensió-deformacióHiperelasticitatTensor d'elasticitatdefinit positiuLímit de fluxpositiuRegla de fluxLa potència de les tensions a la taxa de deformació plàstica no és negativa.Flux de plàsticEs compleix la condició de càrrega. i
Referències
Categoria:Ciència de materials