En matemàtiques i telecomunicacions, els models de geometria estocàstica de xarxes sense fil es refereixen a models matemàtics basats en la geometria estocàstica que estan dissenyats per representar aspectes de les xarxes sense fil. La recerca relacionada consisteix en analitzar aquests models amb l'objectiu de comprendre millor les xarxes de comunicació sense fil per tal de predir i controlar diverses mètriques de rendiment de la xarxa. Els models requereixen l'ús de tècniques de geometria estocàstica i camps relacionats, com ara processos puntuals, estadística espacial, probabilitat geomètrica, teoria de la percolació, així com mètodes de disciplines matemàtiques més generals com ara geometria, teoria de la probabilitat, processos estocàstics, teoria de cues, teoria de la informació i anàlisi de Fourier.F. Baccelli and B. Błaszczyszyn. Stochastic Geometry and Wireless Networks, Volume I — Theory, volume 3, No 3–4 of Foundations and Trends in Networking. NoW Publishers, 2009.F. Baccelli and B. Błaszczyszyn. Stochastic Geometry and Wireless Networks, Volume II — Applications, volume 4, No 1–2 of Foundations and Trends in Networking. NoW Publishers, 2009.W. S. Kendall and I. Molchanov, eds. New Perspectives in Stochastic Geometry. Oxford University Press, 2010.M. Haenggi. Stochastic geometry for wireless networks. Cambridge University Press, 2012.
A principis dels anys seixanta es va desenvolupar un model de geometria estocàsticaE. N. Gilbert. Random plane networks. Journal of the Society for Industrial \& Applied Mathematics, 9(4):533–543, 1961. per estudiar les xarxes sense fil. Aquest model es considera pioner i l'origen de la percolació contínua.M. Franceschetti and R. Meester. Random networks for communication: from statistical physics to information systems, volume 24. Cambridge University Press, 2007. Posteriorment, es van proposar i utilitzar models de xarxa basats en la probabilitat geomètrica a finals dels anys setantaL. Kleinrock and J. Silvester. Optimum transmission radii for packet radio networks or why six is a magic number. In IEEE National Telecommunications, pages 4.31–4.35, 1978. i van continuar durant els anys vuitantaL. Kleinrock and J. Silvester. Spatial reuse in multihop packet radio networks. Proceedings of the IEEE, 75(1):156–167, 1987.H. Takagi and L. Kleinrock. Optimal transmission ranges for randomly distributed packet radio terminals. IEEE Transactions on Communications, 32(3):246–257, 1984. per examinar les xarxes de ràdio per paquets. Més tard, el seu ús va augmentar significativament per estudiar diverses tecnologies de xarxes sense fil, com ara xarxes mòbils ad hoc, xarxes de sensors, xarxes vehiculars ad hoc, xarxes de ràdio cognitiva i diversos tipus de xarxes cel·lulars, com ara xarxes cel·lulars heterogènies.J. G. Andrews, R. K. Ganti, M. Haenggi, N. Jindal, and S. Weber. A primer on spatial modeling and analysis in wireless networks. Communications Magazine, IEEE, 48(11):156–163, 2010.M. Haenggi, J. Andrews, F. Baccelli, O. Dousse, and M. Franceschetti. Stochastic geometry and random graphs for the analysis and design of wireless networks. IEEE JSAC, 27(7):1029–1046, September 2009.S. Mukherjee. Analytical Modeling of Heterogeneous Cellular Networks: Geometry, Coverage, and Capacity. Cambridge University Press, 2014. Les quantitats clau de rendiment i qualitat de servei sovint es basen en conceptes de la teoria de la informació, com ara la relació senyal-interferència més soroll, que constitueix la base matemàtica per definir la connectivitat i la cobertura de xarxa.M. Haenggi. Stochastic geometry for wireless networks. Cambridge University Press, 2012.
La idea principal subjacent a la recerca d'aquests models de geometria estocàstica, també coneguts com a models espacials aleatoris,J. G. Andrews, R. K. Ganti, M. Haenggi, N. Jindal, and S. Weber. A primer on spatial modeling and analysis in wireless networks. Communications Magazine, IEEE, 48(11):156–163, 2010. és que és millor assumir que les ubicacions dels nodes o l'estructura de la xarxa i les quantitats esmentades són de naturalesa aleatòria a causa de la mida i la imprevisibilitat dels usuaris a les xarxes sense fil. L'ús de la geometria estocàstica pot permetre la derivació d'expressions de forma tancada o semitancada per a aquestes quantitats sense recórrer a mètodes de simulació o models deterministes (possiblement intractables o inexactes).
Visió general La disciplina de la geometria estocàstica implica l'estudi matemàtic d'objectes aleatoris definits en un espai (sovint euclidià). En el context de les xarxes sense fil, els objectes aleatoris solen ser punts simples (que poden representar les ubicacions dels nodes de la xarxa, com ara receptors i transmissors) o formes (per exemple, l'àrea de cobertura d'un transmissor), i l'espai euclidià és tridimensional o, més sovint, el pla (bidimensional), que representa una regió geogràfica. En les xarxes sense fil (per exemple, les xarxes cel·lulars), la geometria subjacent (les ubicacions relatives dels nodes) juga un paper fonamental a causa de la interferència d'altres transmissors, mentre que en les xarxes cablejades (per exemple, Internet) la geometria subjacent és menys important.
Canals en una xarxa sense fil alt=Different channel types in wireless networks|miniatura|Tres tipus de canals o situacions de connexió en xarxes sense fil Una xarxa sense fil es pot veure com un conjunt de canals (teòrics de la informació) que comparteixen espai i una banda de freqüència comuna. Cada canal consisteix en un conjunt de transmissors que intenten enviar dades a un conjunt de receptors. El canal més simple és el canal punt a punt, que implica un únic transmissor que té com a objectiu enviar dades a un únic receptor. El canal de difusió, en terminologia de la teoria de la informació,Cover, Thomas M and Thomas, Joy A, Elements of information theory,2012, John Wiley & Sons. és la situació d'un a molts amb un únic transmissor que té com a objectiu enviar dades diferents a diferents receptors i sorgeix, per exemple, en l'enllaç descendent d'una xarxa cel·lular.Tse David and Pramod Viswanath, Fundamentals of wireless communication, 2005, Cambridge university press. El canal d'accés múltiple és el contrari, amb diversos transmissors que tenen com a objectiu enviar dades diferents a un únic receptor. Aquesta situació de molts a un sorgeix, per exemple, en l'enllaç ascendent de les xarxes cel·lulars. Existeixen altres tipus de canals, com ara la situació de molts a molts. Aquests canals (teòrics de la informació) també s'anomenen enllaços de xarxa, molts dels quals estaran actius simultàniament en un moment donat.
Objectes geomètrics d'interès en xarxes sense fil Hi ha diversos exemples d'objectes geomètrics que poden ser d'interès en les xarxes sense fil. Per exemple, considerem una col·lecció de punts en el pla euclidià. Per a cada punt, col·loqueu al pla un disc amb el centre situat en aquest punt. Els discs es poden superposar entre si i el radi de cada disc és aleatori i (estocàsticament) independent de tots els altres radis. L'objecte matemàtic que consisteix en la unió de tots aquests discs es coneix com a model booleà (disc aleatori)M. Haenggi. Stochastic geometry for wireless networks. Cambridge University Press, 2012.D. Stoyan, W. S. Kendall, J. Mecke, and L. Ruschendorf. Stochastic geometry and its applications, volume 2. Wiley Chichester, 1995.P. Hall. Introduction to the theory of coverage processes, volume 1. Wiley New York, 1988. i pot representar, per exemple, la regió de detecció d'una xarxa de sensors. Si tots els radis no són aleatoris, sinó una constant positiva comuna, el model resultant es coneix com a model de disc de Gilbert (booleà).Balister, Paul and Sarkar, Amites and Bollobás, Béla, Percolation, connectivity, coverage and colouring of random geometric graphs, Handbook of Large-Scale Random Networks, 117–142, 2008 alt=Possible coverage model|miniatura|Un model booleà com a model de cobertura en una xarxa sense fil En lloc de col·locar discos al pla, es pot assignar una subregió disjunta (o no superposada) a cada node. Aleshores, el pla es divideix en una col·lecció de subregions disjuntes. Per exemple, cada subregió pot consistir en la col·lecció de totes les ubicacions d'aquest pla que estan més a prop d'algun punt del patró de punts subjacent que qualsevol altre punt del patró de punts. Aquesta estructura matemàtica es coneix com a tessel·lació de Voronoi i pot representar, per exemple, les cel·les d'associació en una xarxa cel·lular on els usuaris s'associen amb l'estació base més propera.
En lloc de col·locar un disc o una cel·la de Voronoi en un punt, es podria col·locar una cel·la definida a partir dels canals de la teoria de la informació descrits anteriorment. Per exemple, la cel·la del canal punt a punt d'un punt es va definirF. Baccelli and B. Błaszczyszyn. On a coverage process ranging from the Boolean model to the Poisson–Voronoi tessellation with applications to wireless communications. Advances in Applied Probability, 33(2):293–323, 2001. com el conjunt de totes les ubicacions del pla on un receptor podia mantenir un canal punt a punt amb una certa qualitat des d'un transmissor situat en aquest punt. Això, atès que l'altre punt també és un transmissor actiu, és un canal punt a punt per dret propi.
En cada cas, el fet que el patró de punts subjacent sigui aleatori (per exemple, un procés de punts) o determinista (per exemple, una xarxa de punts) o una combinació d'ambdós, influirà en la naturalesa del model booleà, la tessel·lació de Voronoi i altres estructures geomètriques com ara les cel·les de canal punt a punt construïdes a partir d'ell. alt=Percolation in the Boolean–Poisson (constant disk) model|miniatura|Simulació de quatre models de Poisson-Booleans (radi constant o disc de Gilbert) a mesura que la densitat augmenta amb els cúmuls més grans en vermell.
Quantitats clau de rendiment En la comunicació amb fil, el camp de la teoria de la informació (en particular, el teorema de Shannon-Hartley) motiva la necessitat d'estudiar la relació senyal-soroll (SNR). En una comunicació sense fil, quan un conjunt de canals està actiu al mateix temps, la interferència dels altres canals es considera soroll, cosa que motiva la necessitat de la quantitat coneguda com a relació senyal-interferència més soroll (SINR). Per exemple, si tenim un conjunt de canals punt a punt, la SINR del canal d'un parell transmissor-receptor concret es defineix com:
on S és la potència, al receptor, del senyal entrant des d'aquest transmissor, I és la potència combinada de tots els altres transmissors (que interfereixen) de la xarxa i N és la potència d'algun terme de soroll tèrmic. El SINR es redueix a SNR quan no hi ha interferència (és a dir, I = 0). En xarxes on el soroll és insignificant, també conegudes com a xarxes "limitades per interferències", tenim N = 0, que dóna la relació senyal-interferència (SIR).
Cobertura Un objectiu comú dels models de xarxa sense fil de geometria estocàstica és derivar expressions per al SINR o per a les funcions del SINR que determinen la cobertura (o interrupció) i la connectivitat. Per exemple, el concepte de probabilitat d'interrupció p out, que informalment és la probabilitat de no poder enviar correctament un senyal per un canal, es fa més precís en el cas punt a punt definint-lo com la probabilitat que el SINR d'un canal sigui inferior o igual a algun llindar dependent de la xarxa.M. Zorzi and S. Pupolin. Outage probability in multiple access packet radio networks in the presence of fading. Vehicular Technology, IEEE Transactions on, 43(3):604–610, 1994. La probabilitat de cobertura p c és llavors la probabilitat que el SINR sigui més gran que el llindar SINR. En resum, donat un llindar SINR t, les probabilitats d'interrupció i cobertura vénen donades per
i