miniatura|Un possible model de geometria estocàstica (model booleà) per a la cobertura i connectivitat de xarxes sense fil construït a partir de discos de mida aleatòria col·locats en ubicacions aleatòries En matemàtiques, la geometria estocàstica és l'estudi dels patrons espacials aleatoris. Al centre de la matèria hi ha l'estudi dels patrons de punts aleatoris. Això condueix a la teoria dels processos puntuals espacials, d'aquí les nocions de condicionament de Palm, que s'estenen a la configuració més abstracta de mesures aleatòries.

Models Hi ha diversos models per a processos puntuals, normalment basats en el clàssic procés puntual de Poisson homogeni (el model bàsic per a l'aleatorietat espacial completa), però que van més enllà, per trobar models expressius que permetin mètodes estadístics eficaços.

La teoria de patrons de punts proporciona un element bàsic important per a la generació de processos d'objectes aleatoris, permetent la construcció de patrons espacials aleatoris elaborats. La versió més senzilla, el model booleà, col·loca un objecte compacte aleatori a cada punt d'un procés puntual de Poisson. Les versions més complexes permeten interaccions basades de diverses maneres en la geometria dels objectes. Diferents direccions d'aplicació inclouen: la producció de models per a imatges aleatòries, ja sigui com a unió de conjunts d'objectes o com a patrons d'objectes superposats; també la generació de models inspirats geomètricament per al procés puntual subjacent (per exemple, la distribució del patró de punts pot estar esbiaixada per un factor exponencial que implica l'àrea de la unió dels objectes; això està relacionat amb el model de Widom-Rowlinson de la mecànica estadística).

Objecte aleatori Què s'entén per objecte aleatori? Una resposta completa a aquesta pregunta requereix la teoria dels conjunts tancats aleatoris, que entra en contacte amb conceptes avançats de la teoria de la mesura. La idea clau és centrar-se en les probabilitats que el conjunt tancat aleatori donat encerti conjunts de prova especificats. Sorgeixen qüestions d'inferència (per exemple, estimar el conjunt que envolta un patró de punts donat) i teories de generalitzacions de mitjanes, etc., per aplicar a conjunts aleatoris. Actualment s'estan fent connexions entre aquest darrer treball i els desenvolupaments recents en l'anàlisi matemàtica geomètrica sobre els espais mètrics generals i la seva geometria. Les bones parametritzacions de conjunts aleatoris específics ens poden permetre referir els processos d'objectes aleatoris a la teoria dels processos de punts marcats; els parells objecte-punt es consideren punts en un espai de producte més gran format com el producte de l'espai original i l'espai de parametrització.

Processos lineals i hiperplans Suposem que ja no ens ocupem d'objectes compactes, sinó d'objectes que s'estenen espacialment: línies al pla o plans en l'espai 3. Això porta a considerar els processos lineals i els processos de plans o hiperplans. Ja no hi pot haver una ubicació espacial preferida per a cada objecte; tanmateix, la teoria es pot mapejar de nou a la teoria de processos puntuals representant cada objecte mitjançant un punt en un espai de representació adequat. Per exemple, en el cas de línies dirigides al pla, es pot considerar que l'espai de representació és un cilindre. Una complicació és que les simetries de moviment euclidianes s'expressaran aleshores a l'espai de representació d'una manera una mica inusual. A més, els càlculs han de tenir en compte biaixos espacials interessants (per exemple, és menys probable que els segments de línia siguin colpejats per línies aleatòries a les quals són gairebé paral·leles) i això proporciona una connexió interessant i significativa amb l'àrea enormement significativa de l'estereologia, que en alguns aspectes es pot veure com un altre tema de la geometria estocàstica. Sovint és el cas que els càlculs es realitzen millor en termes de feixos de línies que colpegen diversos conjunts de proves, en lloc de treballar en l'espai de representació.

Els processos lineals i hiperplans tenen les seves pròpies aplicacions directes, però també troben aplicació com una manera de crear tessel·lacions que divideixen l'espai; per exemple, es pot parlar de tessel·lacions de línies de Poisson. Un resultat notable demostra que la cel·la a l'origen de la tessel·lació de línies de Poisson és aproximadament circular quan es condiciona a ser gran. Les tessel·lacions en geometria estocàstica es poden produir, per descomptat, per altres mitjans, per exemple utilitzant construccions de Voronoi i variants, i també iterant diversos mitjans de construcció.

Origen del nom El nom sembla haver estat encunyat per David Kendall i Klaus KrickebergSee foreword in mentre preparaven un taller a Oberwolfach el juny de 1969, tot i que els antecedents de la teoria es remunten molt més enrere sota el nom de probabilitat geomètrica. El terme «geometria estocàstica» també va ser utilitzat per Frisch i Hammersley el 1963 com un dels dos suggeriments per a noms d'una teoria d'«estructures irregulars aleatòries» inspirada en la teoria de la percolació.

Aplicacions Aquesta breu descripció s'ha centrat en la teoriaSee foreword in de la geometria estocàstica, que permet una visió de l'estructura de la matèria. Tanmateix, gran part de la vida i l'interès de la matèria, i de fet moltes de les seves idees originals, provenen d'una gamma molt àmplia d'aplicacions, per exemple: astronomia, telecomunicacions distribuïdes espacialment, modelatge i anàlisi de xarxes sense fil,M. Haenggi. Stochastic geometry for wireless networks. Cambridge University Press, 2012. modelatge de l'esvaïment de canals, silvicultura, la teoria estadística de la forma, ciència de materials, anàlisi multivariant, problemes en l'anàlisi d'imatges i estereologia. Hi ha enllaços a la mecànica estadística, la cadena de Monte Carlo de Markov i implementacions de la teoria en computació estadística (per exemple, spatstat en R). Recentment, els processos puntuals determinants i permanents (connectats a la teoria de matrius aleatòries) comencen a tenir un paper important.

Referències

Categoria:Matemàtiques Categoria:Geometria diferencial