Assaig per a resoldre un problema en la doctrina de les probabilitats és una obra sobre la teoria matemàtica de la probabilitat de Thomas Bayes, publicada el 1763, dos anys després de la mort de l'autor, i que conté múltiples esmenes i addicions degudes al seu amic Richard Price. El títol prové de l'ús contemporani de l'expressió "doctrina de les probabilitats" per referir-se a la teoria de la probabilitat, que s'havia introduït a través del títol d'un llibre d'Abraham de Moivre. Les reimpressions contemporànies de l'assaig porten un títol més específic i significatiu: Un mètode per a calcular la probabilitat exacta de totes les conclusions basat en la inducció.
L'assaig inclou teoremes de probabilitat condicional que formen la base del que ara s'anomena teorema de Bayes, juntament amb un tractament detallat del problema d'establir una probabilitat a priori.
Bayes va suposar una seqüència d'experiments independents, cadascun amb un èxit o un fracàs, i la probabilitat d'èxit era un nombre p entre 0 i 1. Però llavors va suposar que p era una quantitat incerta, la probabilitat de la qual d'estar en qualsevol interval entre 0 i 1 és la longitud de l'interval. En termes moderns, p es consideraria una variable aleatòria uniformement distribuïda entre 0 i 1. Condicionalment al valor de p, les proves que donen com a resultat èxit o fracàs són independents, però incondicionalment (o "marginalment") no ho són. La raó és que si s'observa un gran nombre d'èxits, és més probable que p sigui gran, de manera que l'èxit en la següent prova és més probable. La pregunta que Bayes va abordar va ser: quina és la distribució de probabilitat condicional de p, donat el nombre d'èxits i fracassos observats fins ara. La resposta és que la seva funció de densitat de probabilitat és
(i ƒ ( p ) = 0 per a p < 0 o p > 1) on k és el nombre d'èxits observats fins ara i n és el nombre d'assajos observats fins ara. Això és el que avui s'anomena distribució Beta amb paràmetres k + 1 i n − k + 1.
Esquema Els resultats preliminars de Bayes en probabilitat condicional (especialment les Proposicions 3, 4 i 5) impliquen la veritat del teorema que porta el seu nom. Afirma: "Si hi ha dos esdeveniments subsegüents, la probabilitat del segon b/N i la probabilitat que tots dos junts siguin P/N, i es descobreix primer que el segon esdeveniment també ha passat, per tant, suposo que el primer esdeveniment també ha passat, la probabilitat que tingui raó és P/b". Simbòlicament, això implica (vegeu Stigler 1982):
la qual cosa porta al teorema de Bayes per a probabilitats condicionals:
Tanmateix, no sembla que Bayes emfatitzés o se centrés en aquesta troballa. Més aviat, es va centrar a trobar la solució a un problema inferencial molt més ampli:
"Donat el nombre de vegades que un esdeveniment desconegut ha passat i ha fallat [...] Trobeu la probabilitat que la probabilitat que passi en una sola prova es trobi entre dos graus de probabilitat que es puguin anomenar."
L'assaig inclou un exemple d'un home que intenta endevinar la proporció de "blancs" i "premis" en una loteria. Fins ara, l'home ha vist com la loteria extreu deu blancs i un premi. Amb aquestes dades, Bayes va mostrar detalladament com calcular la probabilitat que la proporció de blancs i premis estigui entre 9:1 i 11:1 (la probabilitat és baixa, al voltant del 7,7%). Va continuar descrivint aquest càlcul després que l'home hagi vist com la loteria extreu vint blancs i dos premis, quaranta blancs i quatre premis, i així successivament. Finalment, havent extret 10.000 blancs i 1.000 premis, la probabilitat arriba al voltant del 97%.
El resultat principal de Bayes (Proposició 9) és el següent en termes moderns:
Assumim una distribució a priori uniforme del paràmetre binomial Després d'observar èxits i fracassos,
No és clar si Bayes era un "bayesià" en el sentit modern. És a dir, si estava interessat en la inferència bayesiana o simplement en la probabilitat. La proposició 9 sembla "bayesiana" en la seva presentació com una probabilitat sobre el paràmetre . Tanmateix, Bayes va plantejar la seva pregunta d'una manera que suggereix un punt de vista freqüentista: va suposar que es llança una bola a l'atzar sobre una taula quadrada (aquesta taula sovint es representa erròniament com una taula de billar, i la bola com una bola de billar, però Bayes mai les descriu com a tals), i va considerar altres boles que cauen a l'esquerra o a la dreta de la primera bola amb probabilitats i L'àlgebra és, és clar, idèntica independentment del punt de vista que es prengui.
Richard Price i l'existència de Déu Richard Price va descobrir l'assaig de Bayes i el seu ara famós teorema en els articles de Bayes després de la seva mort. Creia que el teorema de Bayes ajudava a demostrar l'existència de Déu ("la Deïtat") i va escriure el següent a la seva introducció a l'assaig:
"El propòsit que vull dir és mostrar quina raó tenim per creure que en la constitució de les coses hi ha lleis fixes segons les quals les coses succeeixen, i que, per tant, l'estructura del món ha de ser l'efecte de la saviesa i el poder d'una causa intel·ligent; i així confirmar l'argument extret de les causes finals per a l'existència de la Deïtat. Serà fàcil veure que el problema invers resolt en aquest assaig és més directament aplicable a aquest propòsit; ja que ens mostra, amb distinció i precisió, en cada cas de qualsevol ordre o recurrència particular d'esdeveniments, quina raó hi ha per pensar que aquesta recurrència o ordre es deriva de causes o regulacions estables de la natura, i no de cap irregularitat de l'atzar." (Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 1763)
En termes moderns, aquest és un exemple de l'argument teleològic.
Versions de l'assaig
Thomas Bayes "An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances". (Bayes's essay in the original notation)
Referències
Categoria:Probabilitat Categoria:1763