miniatura|331x331px|Corbes de risc del subtipus histològic del carcinoma renal dibuixades en funció de l'edat i el temps mitjançant un model de risc proporcional hipertabàstic. Els models de riscos proporcionals són una classe de models de supervivència en estadística. Els models de supervivència relacionen el temps que passa, abans que es produeixi algun esdeveniment, amb una o més covariables que poden estar associades amb aquesta quantitat de temps. En un model de riscos proporcionals, l'efecte únic d'un augment unitari en una covariable és multiplicatiu respecte a la taxa de risc. La taxa de risc en el moment és la probabilitat per temps curt dt que es produeixi un esdeveniment entre i atès que fins al moment Encara no s'ha produït cap esdeveniment. Per exemple, prendre un medicament pot reduir a la meitat la taxa de risc de patir un ictus o, canviar el material amb què es construeix un component fabricat, pot duplicar la seva taxa de risc de fallada. Altres tipus de models de supervivència, com ara els models de temps de fallada accelerat, no presenten riscos proporcionals. El model de temps de fallada accelerat descriu una situació en què la història de vida biològica o mecànica d'un esdeveniment s'accelera (o desaccelera).
Rerefons Els models de supervivència es poden veure com a compostos de dues parts: la funció de risc de referència subjacent, sovint denotada , que descriu com canvia el risc d'esdeveniment per unitat de temps al llarg del temps als nivells basals de les covariables; i els paràmetres d'efecte, que descriuen com varia el perill en resposta a les covariables explicatives. Un exemple mèdic típic inclouria covariables com l'assignació del tractament, així com les característiques del pacient com l'edat a l'inici de l'estudi, el sexe i la presència d'altres malalties a l'inici de l'estudi, per tal de reduir la variabilitat i/o controlar els factors de confusió.
La condició de riscos proporcionals estableix que les covariables estan relacionades multiplicativament amb el risc. En el cas més simple de coeficients estacionaris, per exemple, un tractament amb un fàrmac pot, per exemple, reduir a la meitat el risc d'un subjecte en qualsevol moment donat. , mentre que el risc de referència pot variar. Cal tenir en compte, però, que això no duplica la vida útil del subjecte; l'efecte precís de les covariables sobre la vida útil depèn del tipus de . La covariable no es limita a predictors binaris; en el cas d'una covariable contínua , normalment se suposa que el perill respon exponencialment; cada unitat d'augment de resulta en una escala proporcional del perill.
El model de Cox Introducció Sir David Cox va observar que si la suposició de riscos proporcionals es compleix (o se suposa que es compleix), aleshores és possible estimar el(s) paràmetre(s) de l'efecte, denotat(s) com a continuació, sense tenir en compte la funció de risc completa. Aquest enfocament de les dades de supervivència s'anomena aplicació del model de riscos proporcionals de Cox, de vegades abreujat com a model de Cox o com a model de riscos proporcionals. Tanmateix, Cox també va assenyalar que la interpretació biològica de la suposició de riscos proporcionals pot ser força complicada.
Sigui els valors realitzats de les p covariables per al subjecte i. La funció de risc per al model de riscos proporcionals de Cox té la forma Aquesta expressió dóna la funció de risc en el temps t per al subjecte i amb un vector covariable (variables explicatives) Xi. Cal tenir en compte que entre subjectes, el risc de referència és idèntic (no té cap dependència d'i). L'única diferència entre els riscos dels subjectes prové del factor d'escalat de referència .
Per què s'anomena "proporcional" Per començar, suposem que només tenim una única covariable, , i per tant un únic coeficient, El nostre model té aquest aspecte:
Considereu l'efecte d'augmentar per 1: Podem veure que augmentar una covariable per 1 escala el risc original per la constant
Reorganitzant les coses lleugerament, veiem que: El costat dret és constant al llarg del temps (cap terme té un
(en ella). Aquesta relació, , s'anomena relació proporcional.
Més generalment, considerem dos subjectes, i i j, amb covariables i respectivament. Considereu la relació dels seus riscos: El costat dret no depèn del temps, ja que és l'únic factor dependent del temps, , es va cancel·lar. Per tant, la relació de riscos de dos subjectes és una constant, és a dir, els riscos són proporcionals.
Absència d'un terme d'intersecció Sovint s'utilitza un terme d'intersecció (també anomenat terme constant o terme de biaix) en els models de regressió. El model de Cox no en té perquè el risc de la línia base, , ho substitueix. Vegem què passaria si incloguéssim un terme d'intersecció de totes maneres, denotat per : on hem redefinit ser un nou perill de referència, Així, el risc de referència incorpora totes les parts del risc que no depenen de les covariables dels subjectes, la qual cosa inclou qualsevol terme d'intersecció (que és constant per a tots els subjectes, per definició). En altres paraules, afegir un terme d'intersecció faria que el model no fos identificable.
Probabilitat de moments únics La probabilitat parcial de Cox, que es mostra a continuació, s'obté utilitzant l'estimació de Breslow de la funció de risc de referència, connectant-la a la probabilitat total i observant que el resultat és un producte de dos factors. El primer factor és la probabilitat parcial que es mostra a continuació, en què el risc de referència s'ha "cancel·lat". És simplement la probabilitat que els subjectes hagin experimentat esdeveniments en l'ordre en què realment han ocorregut, donat el conjunt de temps d'ocurrència i donades les covariables dels subjectes. El segon factor està lliure dels coeficients de regressió i depèn de les dades només a través del patró de censura. L'efecte de les covariables estimat per qualsevol model de riscos proporcionals es pot, per tant, reportar com a raons de risc.
Per calcular la probabilitat parcial, la probabilitat de l'ordre dels esdeveniments, indexem les M mostres per a les quals els esdeveniments ja s'han produït augmentant el temps d'ocurrència, Y1 < Y2 <... < YM. Les covariables de tots els altres subjectes per als quals no s'ha produït cap esdeveniment obtenen índexs M +1,..., N. La probabilitat parcial es pot factoritzar en un factor per a cada esdeveniment que s'ha produït. El factor i -èsim és la probabilitat que, de tots els subjectes (i, i +1,..., N) per als quals no s'ha produït cap esdeveniment abans del temps Yi , el que realment s'ha produït en el temps Yi sigui l'esdeveniment per al subjecte i: on ) i la suma és sobre el conjunt de subjectes j on l'esdeveniment no ha ocorregut abans del temps Yi (inclòs el mateix subjecte i). Òbviament 0 < Li(β) ≤ 1.
Si es tracten els subjectes com a estadísticament independents entre si, la probabilitat parcial de l'ordre dels esdeveniments"Each failure contributes to the likelihood function", Cox (1972), page 191. és on els subjectes per als quals s'ha produït un esdeveniment s'indiquen per Ci = 1 i tots els altres per Ci = 0. La probabilitat parcial logarítmica corresponent és on hem escrit utilitzant la indexació introduïda anteriorment d'una manera més general, com a Crucialment, l'efecte de les covariables es pot estimar sense necessitat d'especificar la funció de risc. al llarg del temps. La probabilitat parcial es pot maximitzar al llarg de β per produir estimacions màximes de probabilitat parcial dels paràmetres del model.
La funció de puntuació parcial és i la matriu hessiana de la probabilitat logarítmica parcial és
Utilitzant aquesta funció de puntuació i la matriu hessiana, la probabilitat parcial es pot maximitzar mitjançant l'algoritme de Newton-Raphson. La inversa de la matriu hessiana, avaluada a l'estimació de β, es pot utilitzar com a matriu de variància-covariància aproximada per a l'estimació i utilitzar-se per produir errors estàndard aproximats per als coeficients de regressió.
Probabilitat quan hi ha temps empatats S'han proposat diversos enfocaments per gestionar situacions en què hi ha empats en les dades de temps. El mètode de Breslow descriu l'enfocament en què el procediment descrit anteriorment s'utilitza sense modificacions, fins i tot quan hi ha empats. Un enfocament alternatiu que es considera que dóna millors resultats és el mètode d'Efron. Sigui tj els temps únics, sigui Hj el conjunt d'índexs i tals que Yi = tj i Ci = 1, i sigui mj = | Hj |. L'enfocament d'Efron maximitza la següent probabilitat parcial. La probabilitat parcial logarítmica corresponent és
la funció de puntuació és i la matriu hessiana és on
Tingueu en compte que quan Hj és buit (totes les observacions amb el temps tj estan censurades), els sumands d'aquestes expressions es tracten com a zero.
Exemples A continuació es mostren alguns exemples pràctics del model de Cox.
Una sola covariable binària Suposem que el criteri d'avaluació que ens interessa és la supervivència del pacient durant un període d'observació de 5 anys després d'una cirurgia. Els pacients poden morir dins del període de 5 anys, i registrem quan van morir, o els pacients poden viure més enllà dels 5 anys, i només registrem que van viure més enllà dels 5 anys. La cirurgia es va realitzar en un de dos hospitals, A o B, i ens agradaria saber si la ubicació de l'hospital està associada amb la supervivència a 5 anys. Concretament, ens agradaria saber l'augment (o disminució) relatiu del risc d'una cirurgia realitzada a l'hospital A en comparació amb l'hospital B. Es proporcionen algunes dades (falses), on cada fila representa un pacient: T és el temps que va ser observat el pacient abans de la mort o 5 anys (mesurat en mesos), i C denota si el pacient va morir en el període de 5 anys. Hem codificat l'hospital com una variable binària denotada X: 1 si de l'hospital A, 0 de l'hospital B. hospitalXT.C.B060FalsB032CertB060FalsB060FalsB060FalsA14CertA118 anysCertA160FalsA19CertA131CertA153CertA117Cert El nostre model proporcional de Cox d'una sola covariable té el següent aspecte, amb representant l'efecte de l'hospital, i indexant cada pacient: Amb programari estadístic, podem estimar per ser 2,12. El coeficient de risc és l' exponencial d'aquest valor, Per veure per què, considereu la relació de riscos, concretament: Per tant, el raó de risc de l'hospital A respecte a l'hospital B és Deixant de banda la significació estadística per un moment, podem afirmar que els pacients de l'hospital A tenen un risc 8,3 vegades més alt de mort en qualsevol període curt de temps en comparació amb l'hospital B.
Hi ha advertències importants a esmentar sobre la interpretació:
Un risc de mort 8,3 vegades més alt no vol dir que morin 8,3 vegades més pacients a l'hospital. A: l'anàlisi de supervivència examina la rapidesa amb què es produeixen els esdeveniments, no simplement si es produeixen. Més concretament, el "risc de mort" és una mesura de la taxa. Una taxa té unitats, com ara metres per segon. Tanmateix, una taxa relativa no: una bicicleta pot anar dues vegades més ràpid que una altra bicicleta (la bicicleta de referència), sense especificar cap unitat. De la mateixa manera, el risc de mort (comparable a la velocitat d'una bicicleta) a l'hospital A és 8,3 vegades més alt (més ràpid) que el risc de mort a l'hospital B (el grup de referència). la quantitat inversa, és el raó de risc de l'hospital B respecte a l'hospital A. No hem fet cap inferència sobre les probabilitats de supervivència entre els hospitals. La raó és que necessitaríem una estimació de la taxa de risc basal, , així com els nostres estimació. Tanmateix, l'estimació estàndard del model de risc proporcional de Cox no estima directament la taxa de risc de referència.