En estadística matemàtica, el teorema de Fisher-Tippett-Gnedenko (també el teorema de Fisher-Tippett o el teorema del valor extrem) és un resultat general en la teoria del valor extrem pel que fa a la distribució asimptòtica de les estadístiques d'ordre extrem. El màxim d'una mostra de variables aleatòries iid després d'una renormalització adequada només pot convergir en distribució a una de les tres possibles famílies de distribucions: la distribució de Gumbel, la distribució de Fréchet o la distribució de Weibull. El mèrit del teorema del valor extrem i els seus detalls de convergència es dóna a Fréchet (1927), Fisher i Tippett (1928), von Mises (1936), i Gnedenko (1943).

El paper del teorema dels tipus extrems per als màxims és similar al del teorema del límit central per a les mitjanes, excepte que el teorema del límit central s'aplica a la mitjana d'una mostra de qualsevol distribució amb variància finita, mentre que el teorema de Fisher-Tippet-Gnedenko només estableix que si la distribució d'un màxim normalitzat convergeix, aleshores el límit ha de ser d'una classe particular de distribucions. No estableix que la distribució del màxim normalitzat sí que convergeixi.

Es pot trobar una declaració formal al Chapman & Hall/CRC Handbook of Statistics of Extremes.

Declaració Sigui una mostra de mida de variables aleatòries independents i amb distribució idèntica, cadascuna de les quals té una funció de distribució acumulada Suposem que existeixen dues seqüències de nombres reals i de manera que els següents límits convergeixin a una funció de distribució no degenerada:

o equivalentment:

En aquestes circumstàncies, la funció limitant és la funció de distribució acumulativa d'una distribució que pertany a la família de distribucions de Gumbel, Fréchet o Weibull.

En altres paraules, si el límit anterior convergeix, aleshores fins a un canvi lineal de coordenades assumirà la forma:

amb el paràmetre diferent de zero també satisfactori per a cada valor recolzat per (per a tots els valors per a la qual ). Si no, té la forma:

Aquesta és la funció de distribució acumulativa de la distribució de valors extrems generalitzada (GEV) amb índex de valors extrems La distribució GEV agrupa les distribucions de Gumbel, Fréchet i Weibull en una sola forma composta.

Condicions de convergència El teorema de Fisher-Tippett-Gnedenko és una afirmació sobre la convergència de la distribució límit , a dalt. L'estudi de les condicions per a la convergència de a casos particulars de la distribució de valor extrem generalitzada va començar amb Mises (1936) i va ser desenvolupat més endavant per Gnedenko (1943).

Sigui la funció de distribució de , i sigui una mostra d'això. També sigui sigui el màxim de la població: .

Aleshores, la distribució límit del màxim de la mostra normalitzada, donada per anteriorment, serà aleshores un dels tres tipus següents: Distribució de Fréchet (): Per a estrictament positiu , la distribució límit convergeix si i només si i per tot . En aquest cas, les possibles seqüències que satisfaran les condicions del teorema són i . Una distribució estrictament positiva correspon al que s'anomena una distribució de cua pesada.

Distribució de Gumbel (): Per a trivials , i amb ja sigui finita o infinita, la distribució límit convergeix si i només si per tot amb

Les possibles seqüències aquí són i .

Distribució de Weibull ( ): Per a estrictament negatiu , la distribució límit convergeix si i només si (és finit) i per tot .

Note that for this case the exponential term is strictly positive, since is strictly negative. Les possibles seqüències aquí són i .

Tingueu en compte que la segona fórmula (la distribució de Gumbel) és el límit de la primera (la distribució de Fréchet) com a va a zero.

Exemples Distribució de Fréchet La funció de densitat de la distribució de Cauchy és:

i la seva funció de distribució acumulada és:

Una mica de càlcul mostra que la distribució acumulativa de la cua dreta és asimptòtic a o

així que tenim

Així tenim

i deixant

per a qualsevol

Distribució de Gumbel Prenguem la distribució normal amb la funció de distribució acumulativa

tenim

i així

Per tant, tenim

Si definim com el valor que satisfà exactament

llavors per trobem que

Com augmenta, això esdevé una bona aproximació per a una gamma cada cop més àmplia de així deixant trobem que

Equivalentment,

Amb aquest resultat, retrospectivament veiem que necessitem i després

per tant, s'espera que el màxim pugi cap a l'infinit cada cop més lentament.

Distribució de Weibull Podem prendre l'exemple més simple, una distribució uniforme entre i , amb una funció de distribució acumulativa

per a qualsevol valor x de a .

Per a valors de tenim

Així doncs, per tenim

Sigui i obtenir

Un examen detallat d'aquest límit mostra que el màxim esperat s'acosta en proporció inversa a .

Referències

Categoria:Probabilitat Categoria:Estadística