En física teòrica i matemàtiques, un model Wess-Zumino-Witten (WZW), també anomenat model Wess-Zumino-Novikov-Witten, és un tipus de teoria de camps conformal bidimensional que rep el nom de Julius Wess, Bruno Zumino, Sergei Novikov i Edward Witten.; Un model WZW s'associa a un grup de Lie (o supergrup), i la seva àlgebra de simetria és l'àlgebra de Lie afí construïda a partir de l'àlgebra de Lie corresponent (o super àlgebra de Lie). Per extensió, el nom model WZW s'utilitza de vegades per a qualsevol teoria de camps conformal l'àlgebra de simetria de la qual és una àlgebra de Lie afí.
Acció Definició Per a una superfície de Riemann, un grup de Lie, i un nombre (generalment complex), definim el -Model WZW activat al nivell El model és un model sigma no lineal l'acció del qual és una funcional d'un camp :
Aquí, està equipat amb una mètrica euclidiana plana, és la derivada parcial, i és la forma de Killing sobre l'àlgebra de Lie de El terme de Wess-Zumino de l'acció és
Aquí és el tensor completament antisimètric, i és el parèntesi de Lie. El terme de Wess-Zumino és una integral sobre una varietat tridimensional el límit del qual és .
Propietats topològiques del terme de Wess-Zumino Perquè el terme Wess-Zumino tingui sentit, necessitem el camp tenir una extensió a Això requereix el grup d'homotopia ser trivial, cosa que és el cas en particular per a qualsevol grup de Lie compacte .
L'extensió d'un determinat a en general no és únic. Perquè el model WZW estigui ben definit, no hauria de dependre de l'elecció de l'extensió. El terme de Wess-Zumino és invariant sota petites deformacions de , i només depèn de la seva classe d'homotopia. Les possibles classes d'homotopia estan controlades pel grup d'homotopia .
Per a qualsevol grup de Lie simple, compacte i connex , tenim , i diferents extensions de condueixen a valors de que difereixen en nombres enters. Per tant, condueixen al mateix valor de sempre que el nivell obeeixi
Els valors enters del nivell també tenen un paper important en la teoria de representacions de l'àlgebra de simetria del model, que és una àlgebra de Lie afí. Si el nivell és un enter positiu, l'àlgebra de Lie afí té representacions unitàries de pes més alt amb pesos més alts que són integral dominant. Aquestes representacions es descomponen en subrepresentacions de dimensió finita respecte a les subàlgebres que cobreix cada arrel simple, l'arrel negativa corresponent i el seu commutador, que és un generador de Cartan.
En el cas del grup de Lie simple no compacte , el grup d'homotopia és trivial i el nivell no està restringit a ser un nombre enter.
Interpretació geomètrica del terme de Wess-Zumino Si ea són els vectors base de l'àlgebra de Lie, aleshores són les constants d'estructura de l'àlgebra de Lie. Les constants d'estructura són completament antisimètriques i, per tant, defineixen una 3-forma a la varietat de grups de G. Així, l'integrand anterior és només la retrotracció de la 3-forma harmònica a la bola Denotant la forma 3 harmònica per c i la retrocessió per llavors un té
Aquesta forma condueix directament a una anàlisi topològica del terme WZ.
Geomètricament, aquest terme descriu la torsió de la varietat respectiva. La presència d'aquesta torsió obliga al teleparal·lelisme de la varietat, i per tant a la trivialització del tensor de curvatura torsional; i per tant a l'aturada del flux de renormalització, un punt fix infraroig del grup de renormalització, un fenomen anomenat geometrostasi.
Àlgebra de simetria Simetria de grup generalitzada El model de Wess-Zumino-Witten no només és simètric sota transformacions globals per un element de grup en , però també té una simetria molt més rica. Aquesta simetria sovint s'anomena simetria.Zamolodchikov, A. B.; Knizhnik, B. G. (1984). "Алгебра токов и двумерная модель Весса-Зумино". Nuclear Physics B. 247: 83-103. És a dir, donat qualsevol holomorfa funció amb valors , i qualsevol altre (completament independent de ) antiholomòrfic funció amb valors , on hem identificat i en termes de les coordenades de l'espai euclidian , es compleix la següent simetria:
Una manera de demostrar l'existència d'aquesta simetria és mitjançant l'aplicació repetida de la identitat de Polyakov-Wiegmann respecte als productes de camps amb valors:
Els corrents holomòrfics i antiholomòrfics i són els corrents conservats associats amb aquesta simetria. El comportament singular dels productes d'aquests corrents amb altres camps quàntics determina com aquests camps es transformen sota accions infinitesimals del grup.
Àlgebra de Lie afí Sigui una coordenada complexa local sobre , una base ortonormal (respecte a la forma de Killing) de l'àlgebra de Lie de , i la quantització del camp Tenim la següent expansió de productes per a operadors:
on són els coeficients tals que De manera equivalent, si s'expandeix en modes
aleshores l'àlgebra actual generada per és l'àlgebra de Lie afí associada a l'àlgebra de Lie de , amb un nivell que coincideix amb el nivell del model WZW. Si , la notació per a l'àlgebra de Lie afí és Les relacions de commutació de l'àlgebra de Lie afí són
Aquesta àlgebra de Lie afí és l'àlgebra de simetria quiral associada als corrents que es mouen cap a l'esquerra Una segona còpia de la mateixa àlgebra de Lie afí s'associa als corrents que es mouen cap a la dreta. Els generadors d'aquesta segona còpia són antiholomorfes. L'àlgebra de simetria completa del model WZW és el producte de les dues còpies de l'àlgebra de Lie afí.
Construcció de Sugawara La construcció de Sugawara és una immersió de l'àlgebra de Virasoro a l'àlgebra envoltant universal de l'àlgebra de Lie afí. L'existència de la immersió demostra que els models WZW són teories de camp conformes. A més, condueix a equacions de Knizhnik-Zamolodchikov per a funcions de correlació.
La construcció de Sugawara s'escriu de la manera més concisa al nivell dels corrents: per a l'àlgebra de Lie afí i el tensor d'energia-moment per a l'àlgebra de Virasoro:
on el símbol denota un ordre normal, i és el nombre dual de Coxeter. Utilitzant l'OPE dels corrents i una versió del teorema de Wick, es pot deduir que l'OPE de amb si mateix ve donat per
que és equivalent a les relacions de commutació de l'àlgebra de Virasoro. La càrrega central de l'àlgebra de Virasoro es dóna en termes del nivell de l'àlgebra de Lie afí per
Al nivell dels generadors de l'àlgebra de Lie afí, la construcció de Sugawara es llegeix
on els generadors de l'àlgebra de Virasoro són els modes del tensor d'energia-moment, .
Espectre Models WZW amb grups compactes i simplement connectats Si el grup de Lie és compacte i simplement connectat, aleshores el model WZW és racional i diagonal: racional perquè l'espectre es construeix a partir d'un conjunt finit (dependent del nivell) de representacions irreductibles de l'àlgebra de Lie afí anomenades representacions integrables de pes més alt, i diagonal perquè una representació de l'àlgebra que es mou a l'esquerra està acoblada amb la mateixa representació de l'àlgebra que es mou a la dreta.
Per exemple, l'espectre de la Model WZW a nivell és
on és la representació afí de pes més alt de l'espín una representació generada per un estat de tal manera que
on és el corrent que correspon a un generador de l'àlgebra de Lie de .
Models WZW amb altres tipus de grups Si el grup és compacte però no simplement connectat, el model WZW és racional però no necessàriament diagonal. Per exemple, el El model WZW existeix per a nivells enters parells , i el seu espectre és una combinació no diagonal d'un nombre finit de representacions integrables de pes més alt.
Si el grup no és compacte, el model WZW és no racional. A més, el seu espectre pot incloure representacions que no siguin de pes més alt. Per exemple, l'espectre de El model WZW es construeix a partir de les representacions de pes més alt, més les seves imatges sota els automorfismes de flux espectral de l'àlgebra de Lie afí.
Si és un supergrup, l'espectre pot incloure representacions que no es factoritzen com a productes tensorials de representacions de les àlgebres de simetria que es mouen cap a l'esquerra i la dreta. Això passa, per exemple, en el cas ,V. Schomerus, H. Saleur, "The GL(1|1) WZW model: From supergeometry to logarithmic CFT", arxiv:hep-th/0510032 i també en supergrups més complicats com ara .G. Gotz, T. Quella, V. Schomerus, "The WZNW model on PSU(1,1|2)", arxiv:hep-th/0610070 Les representacions no factoritzables són responsables del fet que els models WZW corresponents siguin teories de camp logarítmiques conformes.
Altres teories basades en àlgebres de Lie afins Les teories de camp conformes conegudes basades en àlgebres de Lie afins no es limiten als models WZW. Per exemple, en el cas de l'àlgebra de Lie afí de la Model WZW, funcions de partició de torus modulars invariants obeeixen una classificació ADE, on El model WZW només té en compte la sèrie A.Andrea Cappelli and Jean-Bernard Zuber (2010), "A-D-E Classification of Conformal Field Theories", Scholarpedia 5(4):10314. La sèrie D correspon a la Model WZW, i la sèrie E no correspon a cap model WZW.
Un altre exemple és el model. Aquest model es basa en la mateixa àlgebra de simetria que el Model WZW, al qual està relacionat per la rotació de Wick. Tanmateix, el no és estrictament un model WZW, ja que no és un grup, sinó un conjunt lateral.K. Gawedzki, "Non-Compact WZW Conformal Field Theories", arxiv:hep-th/9110076
Camps i funcions de correlació Camps Donada una representació simple de l'àlgebra de Lie de , un camp primari afí és un camp que pren valors a l'espai de representació de , de manera que
Un camp primari afí també és un camp primari per a l'àlgebra de Virasoro que resulta de la construcció de Sugawara. La dimensió conforme del camp primari afí es dóna en termes del Casimir quadràtic de la representació (és a dir, el valor propi de l'element quadràtic de Casimir on és la inversa de la matriu de la forma Matar) per
Per exemple, en el Model WZW, la dimensió conformal d'un camp primari d'espín és
Per la correspondència estat-camp, els camps primaris afins corresponen a estats primaris afins, que són els estats de pes més alt de les representacions de pes més alt de l'àlgebra de Lie afí.
Funcions de correlació Si el grup és compacte, l'espectre del model WZW està fet de representacions de pes més alt i totes les funcions de correlació es poden deduir de les funcions de correlació de camps primaris afins mitjançant identitats de Ward.
Si la superfície de Riemann és l'esfera de Riemann, les funcions de correlació dels camps primaris afins obeeixen les equacions de Knizhnik-Zamolodchikov. A les superfícies de Riemann de gènere superior, les funcions de correlació obeeixen les equacions de Knizhnik-Zamolodchikov-Bernard, que impliquen derivades no només de les posicions dels camps, sinó també dels mòduls de la superfície.G. Felder, C. Wieczerkowski, "Conformal blocks on elliptic curves and the Knizhnik--Zamolodchikov--Bernard equations", arxiv:hep-th/9411004
Models WZW calibrats Donat un subgrup de Lie , el El model WZW gauged (o model de coset) és un model sigma no lineal l'espai objectiu del qual és el quocient per a l'acció adjunta de en Aquest model WZW mesurat és una teoria de camps conforme, l'àlgebra de simetria de la qual és un quocient de les dues àlgebres de Lie afins de la i Models WZW, i la càrrega central dels quals és la diferència de les seves càrregues centrals.
Aplicacions