En matemàtiques, en la teoria de sistemes integrables, un parell de Lax és un parell de matrius o operadors dependents del temps que satisfan una equació diferencial corresponent, anomenada equació de Lax. Els parells Lax van ser introduïts per Peter Lax per discutir els solitons en medis continus. La transformada de dispersió inversa utilitza les equacions de Lax per resoldre aquests sistemes.
Definició Un parell Lax és un parell de matrius o operadors dependent del temps, actuant sobre un espai de Hilbert fix i satisfent l'equació de Lax:
on és el commutador. Sovint, com en l'exemple següent, depèn de d'una manera prescrita, de manera que aquesta és una equació no lineal per a com a funció de .
Propietat isospectral Aleshores es pot demostrar que els valors propis i, més generalment, l'espectre de L són independents de t. Es diu que les matrius/operadors L són isospectrals com a varia.
L'observació principal és que les matrius són tots similars en virtut de
on és la solució del problema de Cauchy
on I denota la matriu identitat. Tingueu en compte que si P ( t ) és antiadjunt, U (t , s) serà unitari.
En altres paraules, per resoldre el problema de valors propis Lψ = λψ en el temps t, és possible resoldre el mateix problema en el temps 0, on L es coneix generalment millor, i propagar la solució amb les fórmules següents:
(sense canvis en l'espectre),
A través d'invariants principals El resultat també es pot mostrar utilitzant els invariants per a qualsevol . Aquests satisfan a causa de l'equació de Lax, i com que el polinomi característic es pot escriure en termes d'aquestes traces, l'espectre es conserva pel flux.
Enllaç amb el mètode de dispersió inversa La propietat anterior és la base del mètode de dispersió inversa. En aquest mètode, L i P actuen sobre un espai funcional (per tant, ψ = ψ (t , x)) i depenen d'una funció desconeguda u (t , x) que s'ha de determinar. Generalment se suposa que u (0, x) és conegut, i que P no depèn de u a la regió de dispersió on El mètode pren llavors la forma següent:
Calcula l'espectre de , donant i A la regió de dispersió on és conegut, propagar a temps utilitzant amb condició inicial Saber a la regió de dispersió, calcula i/o
Corba espectral Si la matriu de Lax depèn addicionalment analíticament d'un paràmetre complex (com és el cas, per exemple, de sinus-Gordon), i la deformació és isospectral, l'equació defineix un subconjunt analític de amb coordenades que sota hipòtesis adequades és una corba, sovint després d'eliminar les singularitats. Per la propietat isospectral, aquesta corba es preserva sota la translació temporal. Això s'anomena corba espectral, sovint després de fer una compactació adequada. Quan la dependència de L respecte a z és algebraica, és una corba algebraica. Aquestes corbes apareixen a la teoria dels sistemes de Hitchin.
Representació de curvatura zero Qualsevol EDP que admeti una representació de parells Lax també admet una representació de curvatura zero. De fet, la representació de curvatura zero és més general i per a altres EDP integrables, com ara l'equació sinus-Gordon, el parell de Lax es refereix a matrius que satisfan l'equació de curvatura zero en lloc de l'equació de Lax. A més, la representació de curvatura zero fa que es manifesti el vincle entre els sistemes integrables i la geometria, culminant en el programa de Ward per formular sistemes integrables coneguts com a solucions a les equacions anti-autoduals de Yang-Mills (ASDYM).
Equació de curvatura zero Les equacions de curvatura zero es descriuen mitjançant un parell de funcions amb valors matricials on els subíndexs denoten índexs de coordenades en lloc de derivades. Sovint el la dependència és a través d'una única funció escalar i els seus derivats. L'equació de curvatura zero és llavors S'anomena així perquè correspon a l'anul·lació del tensor de curvatura, que en aquest cas és . Això difereix de l'expressió convencional en alguns signes menys, que en última instància no són importants.
Parell lax a curvatura zero Per a una solució pròpia de l'operador Lax , un té Si en canvi imposem aquestes, juntament amb la independència temporal de , en canvi, l'equació de Lax sorgeix com una equació de consistència per a un sistema sobredeterminat.
La parella Lax es pot utilitzar per definir els components de connexió . Quan una EDP admet una representació de curvatura zero però no una representació d'equació de Lax, els components de connexió es coneixen com a parell Lax, i la connexió, com a connexió Lax.
Exemples Equació de Korteweg-de Vries L'equació de Korteweg-de Vries
es pot reformular com l'equació de Lax
amb
(un operador de Sturm-Liouville),
on totes les derivades actuen sobre tots els objectes a la dreta. Això explica el nombre infinit de primeres integrals de l'equació KdV.
Cim de Kovalevskaya L'exemple anterior utilitzava un espai de Hilbert de dimensió infinita. També són possibles exemples amb espais de Hilbert de dimensió finita. Aquests inclouen el cim de Kovalevskaya i la generalització per incloure un camp elèctric
Imatge de Heisenberg En la imatge de Heisenberg de la mecànica quàntica, un observable sense dependència explícita del temps satisfà
amb l'hamiltonià i la constant de Planck reduïda. A banda d'un factor, els observables (sense dependència explícita del temps) en aquesta imatge poden, doncs, veure's que formen parells de Lax juntament amb el hamiltonià. La imatge de Schrödinger s'interpreta llavors com l'expressió alternativa en termes d'evolució isospectral d'aquests observables.
Més exemples Altres exemples de sistemes d'equacions que es poden formular com un parell de Lax inclouen:
Equació de Benjamin-Ono Equació de Schrödinger no lineal cúbica unidimensional Sistema Davey-Stewartson Sistemes integrables amb parells Lax de contacteA. Sergyeyev, New integrable (3+1)-dimensional systems and contact geometry, Lett. Math. Phys. 108 (2018), no. 2, 359-376, Equació de Kadomtsev-Petviashvili Equació de Korteweg-de Vries Jerarquia de KdV Equació de Marchenko Equació de Korteweg–de Vries modificada Equació de Sine-Gordon Toda enreixat Cims de Lagrange, Euler i Kovalevskaya Transformada de Belinski-Zakharov, en relativitat general.
Això últim és remarcable, ja que implica que tant la mètrica de Schwarzschild com la mètrica de Kerr es poden entendre com a solitons.
Dinàmica de temps discret El concepte de parell Lax també es pot definir per a sistemes dinàmics amb temps discret, per exemple el mapa del pentagrama.
Referències
Categoria:Equacions diferencials