En física teòrica, la mecànica quàntica supersimètrica és una àrea de recerca on la supersimetria s'aplica a l'entorn més simple de la mecànica quàntica simple, en lloc de la teoria quàntica de camps. La mecànica quàntica supersimètrica ha trobat aplicacions fora de la física d'altes energies, com ara proporcionar nous mètodes per resoldre problemes de mecànica quàntica, proporcionar extensions útils a l'aproximació WKB i la mecànica estadística.
miniatura|Correccions de renormalització de la massa quadràtica del bosó de Higgs degudes als *stop squarks* en una extensió supersimètrica del Model Estàndard (actualització del diagrama anterior a format vectorial)
Introducció Comprendre les conseqüències de la supersimetria (SUSY) ha demostrat ser matemàticament descoratjador, i també ha estat difícil desenvolupar teories que puguin explicar la ruptura de la simetria, és a dir, la manca de partícules associades observades de la mateixa massa. Per progressar en aquests problemes, els físics van desenvolupar la mecànica quàntica supersimètrica, una aplicació de la superàlgebra de la supersimetria a la mecànica quàntica en contraposició a la teoria quàntica de camps. S'esperava que l'estudi de les conseqüències de SUSY en aquest entorn més simple conduís a una nova comprensió; sorprenentment, l'esforç va crear noves àrees de recerca en la mateixa mecànica quàntica.
Per exemple, normalment s'ensenya als estudiants a "resoldre" l'àtom d'hidrogen mitjançant un procés que comença inserint el potencial de Coulomb a l'equació de Schrödinger. Després de l'ús de múltiples equacions diferencials, l'anàlisi produeix una relació de recursió per als polinomis de Laguerre. El resultat és l'espectre dels estats energètics dels àtoms d'hidrogen (etiquetats amb els nombres quàntics n i l ). Utilitzant idees extretes de SUSY, el resultat final es pot derivar amb més facilitat, de la mateixa manera que s'utilitzen mètodes d'operadors per resoldre l'oscil·lador harmònic. Un enfocament supersimètric similar també es pot utilitzar per trobar amb més precisió l'espectre d'hidrogen mitjançant l'equació de Dirac.Thaller, B. (1992). The Dirac Equation. Texts and Monographs in Physics. Springer. Curiosament, aquest plantejament és anàleg a la manera com Erwin Schrödinger va resoldre per primera vegada l'àtom d'hidrogen. No va qualificar la seva solució de supersimètrica, ja que SUSY era d'aquí a trenta anys.
La solució SUSY de l'àtom d'hidrogen és només un exemple de la classe molt general de solucions que SUSY proporciona als potencials invariants de forma, una categoria que inclou la majoria dels potencials que s'ensenyen en els cursos introductoris de mecànica quàntica.
La mecànica quàntica SUSY implica parells de hamiltonians que comparteixen una relació matemàtica particular, que s'anomenen hamiltonians socis. (Els termes d'energia potencial que apareixen als hamiltonians s'anomenen potencials socis.) Un teorema introductori mostra que per a cada estat propi d'un hamiltonià, el seu hamiltonià soci té un estat propi corresponent amb la mateixa energia (excepte possiblement per als estats propis d'energia zero). Aquest fet es pot aprofitar per deduir moltes propietats de l'espectre d'estats propis. És anàleg a la descripció original de SUSY, que es referia als bosons i fermions. Podem imaginar un "hamiltonià bosònic", els estats propis del qual són els diversos bosons de la nostra teoria. El soci SUSY d'aquest hamiltonià seria "fermiònic", i els seus estats propis serien els fermions de la teoria. Cada bosó tindria una parella fermiònica d'igual energia, però, en el món relativista, l'energia i la massa són intercanviables, de manera que podem dir fàcilment que les partícules parelles tenen la mateixa massa.
Els conceptes SUSY han proporcionat extensions útils a l'aproximació WKB en forma d'una versió modificada de la condició de quantificació de Bohr-Sommerfeld. A més, SUSY s'ha aplicat a la mecànica estadística no quàntica a través de l'equació de Fokker-Planck, demostrant que, fins i tot si la inspiració original en la física de partícules d'alta energia resulta ser un carreró sense sortida, la seva investigació ha aportat molts beneficis útils.
Exemple: l'oscil·lador harmònic L'equació de Schrödinger per a l'oscil·lador harmònic pren la forma
on és el estat propi d'energia de amb energia . Volem trobar una expressió per a en termes de . Definim els operadors
i
on , que hem de triar, s'anomena superpotencial de . També definim els hamiltonians associats esmentats anteriorment. i com
Un estat fonamental d'energia zero de satisfaria l'equació
Suposant que coneixem l'estat fonamental de l'oscil·lador harmònic , podem resoldre per com
Aleshores trobem que
Ara podem veure que
Aquest és un cas especial d'invariància de forma, que es tracta més endavant. Prenent sense demostració el teorema introductori esmentat anteriorment, és evident que l'espectre de començarà amb i continuar cap amunt en passos de Els espectres de i tindrà el mateix espaiat uniforme, però es desplaçarà cap amunt en quantitats i , respectivament. D'això es dedueix que l'espectre de és, per tant, el familiar .
Superàlgebra SUSY QM En la mecànica quàntica fonamental, aprenem que una àlgebra d'operadors es defineix mitjançant relacions de commutació entre aquests operadors. Per exemple, els operadors canònics de posició i moment tenen el commutador . (Aquí, fem servir "unitats naturals" on la constant de Planck s'estableix igual a 1.) Un cas més complex és l'àlgebra dels operadors de moment angular; aquestes quantitats estan estretament relacionades amb les simetries rotacionals de l'espai tridimensional. Per generalitzar aquest concepte, definim un anticommutador, que relaciona els operadors de la mateixa manera que un commutador ordinari, però amb el signe oposat:
Si els operadors estan relacionats per anticommutadors, així com per commutadors, diem que formen part d'una superàlgebra de Lie. Diguem que tenim un sistema quàntic descrit per un hamiltonià i un conjunt de operadors . Anomenarem aquest sistema supersimètric si la següent relació d'anticomutació és vàlida per a tots :
Si aquest és el cas, aleshores anomenem les sobrecàrregues del sistema.
Exemple Vegem l'exemple d'una partícula no relativista unidimensional amb un grau de llibertat intern bidimensional ( és a dir, dos estats) anomenat "espín" (en realitat no és espín perquè l'espín "real" és una propietat de les partícules tridimensionals). Deixa sigui un operador que transforma una partícula de "spin up" en una partícula de "spin down". El seu adjunt després transforma una partícula de spin down en una partícula de spin up; els operadors es normalitzen de manera que l'anticommutador . I . Deixa sigui el moment de la partícula i sigui la seva posició amb . Deixa (el "superpotencial") sigui una funció analítica complexa arbitrària de i defineix els operadors supersimètrics
Tingueu en compte que i són autoadjunts. Sigui el hamiltonià
on W ' és la derivada de W. tenir en també que {Q1, Q2} = 0. Això no és res més que supersimetria N = 2. Tingueu en compte que actua com un potencial vectorial electromagnètic.
Anomenem també l'estat de spin down "bosònic" i l'estat de spin up "fermiònic". Això només és en analogia amb la teoria quàntica de camps i no s'ha de prendre literalment. Aleshores, Q1 i Q2 mapegen els estats "bosònics" en estats "fermiònics" i viceversa.
Reformulant això una mica:
Definir
i,
i
Un operador és "bosònic" si assigna estats "bosònics" a estats "bosònics" i estats "fermiònics" a estats "fermiònics". Un operador és "fermiònic" si assigna estats "bosònics" a estats "fermiònics" i viceversa. Qualsevol operador es pot expressar de manera única com la suma d'un operador bosònic i un operador fermiònic. Defineix el supercommutador [,} de la següent manera: Entre dos operadors bosònics o un operador bosònic i un fermiònic, no és altre que el commutador, però entre dos operadors fermiònics, és un anticommutador.
Aleshores, x i p són operadors bosònics i b, , Q i són operadors fermiònics.
Treballem amb la imatge de Heisenberg on x, b i són funcions del temps.
Això no és lineal en general: és a dir, x(t), b(t) i no formen una representació SUSY lineal perquè no és necessàriament lineal en x. Per evitar aquest problema, definiu l'operador autoadjunt . Aleshores,
i veiem que tenim una representació SUSY lineal.
Ara introduïm dues quantitats "formals", ; i amb aquest últim com a adjunt del primer, de manera que
i tots dos commuten amb operadors bosònics però anticomuten amb operadors fermiònics.
A continuació, definim una construcció anomenada supercamp:
f és autoadjunta. Aleshores,
A més, també hi ha una simetria U(1) R, amb p, x i W que tenen càrregues R zero i amb una càrrega R d'1 i b amb una càrrega R de −1.
Invariància de forma Suposem és real per a tot el real . Aleshores podem simplificar l'expressió del hamiltonià a
Hi ha certes classes de superpotencials tals que tant els hamiltonians bosònics com els fermiònics tenen formes similars. Concretament
on el 's són paràmetres. Per exemple, el potencial de l'àtom d'hidrogen amb moment angular es pot escriure d'aquesta manera.
Això correspon a per al superpotencial
Aquest és el potencial per a moment angular desplaçat per una constant. Després de resoldre el estat fonamental, els operadors supersimètrics es poden utilitzar per construir la resta de l'espectre d'estats enllaçats.
En general, des que i són potencials de parella, comparteixen el mateix espectre d'energia excepte l'energia terrestre addicional. Podem continuar aquest procés de trobar potencials de parella amb la condició d'invariància de forma, donant la següent fórmula per als nivells d'energia en termes dels paràmetres del potencial
on són els paràmetres per als múltiples potencials associats.
Referències
Categoria:Mecànica quàntica