miniatura|L'algoritme de 3 passos: transformar la solució inicial a dades de dispersió inicials, evolucionar les dades de dispersió inicials, transformar les dades de dispersió evolucionades a una solució evolucionada En matemàtiques, la transformada de dispersió inversa (o transformada de Fourier no lineal) és un mètode que resol el problema de valor inicial per a una equació diferencial parcial no lineal utilitzant mètodes matemàtics relacionats amb la dispersió d'ones. La transformada de dispersió directa descriu com una funció dispersa ones o genera estats lligats. La transformada de dispersió inversa utilitza dades de dispersió d'ones per construir la funció responsable de la dispersió d'ones. Les transformades de dispersió directa i inversa són anàlogues a les transformades de Fourier directa i inversa que s'utilitzen per resoldre equacions diferencials parcials lineals.
Utilitzant un parell d'operadors diferencials, un algoritme de 3 passos pot resoldre equacions diferencials no lineals; la solució inicial es transforma en dades de dispersió (transformada de dispersió directa), les dades de dispersió evolucionen cap endavant en el temps (evolució temporal) i les dades de dispersió reconstrueixen la solució cap endavant en el temps (transformada de dispersió inversa).
Aquest algoritme simplifica la resolució d'una equació diferencial parcial no lineal a la resolució de 2 equacions diferencials ordinàries lineals i una equació integral ordinària, un mètode que finalment condueix a solucions analítiques per a moltes equacions diferencials parcials no lineals que d'altra manera serien difícils de resoldre.
El problema de dispersió inversa és equivalent a un problema de factorització de Riemann-Hilbert, almenys en el cas d'equacions d'una dimensió espacial. Aquesta formulació es pot generalitzar a operadors diferencials d'ordre superior a dos i també a problemes periòdics. En dimensions espacials superiors, es té en canvi un problema de factorització de Riemann-Hilbert "no local" (amb convolució en lloc de multiplicació) o un problema de d-bar.
Història La transformada de dispersió inversa va sorgir de l'estudi d'ones solitàries. JS Russell va descriure una "ona de translació" o "ona solitària" que es produeix en aigües poc profundes. Primer J. V. Boussinesq i més tard D. Korteweg i G. deVries van descobrir l'equació de Korteweg-deVries (KdV), una equació diferencial parcial no lineal que descriu aquestes ones. Més tard, N. Zabusky i M. Kruskal, utilitzant mètodes numèrics per investigar el problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou, van descobrir que les ones solitàries tenien les propietats elàstiques de les partícules en col·lisió; les amplituds i velocitats inicials i finals de les ones romanien sense canvis després de les col·lisions d'ones. Aquestes ones semblants a partícules s'anomenen solitons i sorgeixen en equacions no lineals a causa d'un equilibri feble entre els efectes dispersius i no lineals.
Gardner, Greene, Kruskal i Miura van introduir la transformada de dispersió inversa per resoldre l'equació de Korteweg-de Vries. Lax, Ablowitz, Kaup, Newell i Segur van generalitzar aquest enfocament, que va conduir a la resolució d'altres equacions no lineals, com ara l'equació no lineal de Schrödinger, l'equació de sinus Gordon, l'equació modificada de Korteweg-De Vries, l'equació de Kadomtsev-Petviashvili, l' equació d'Ishimori, l'equació de la xarxa de Toda i l'equació de Dym. Aquest mètode també s'ha aplicat a diferents tipus d'equacions no lineals, com ara equacions de diferències diferencials, diferències parcials, equacions multidimensionals i sistemes no lineals fraccionaris integrables.
Descripció Equació diferencial parcial no lineal Les variables independents són una variable espacial i una variable de temps . Subíndexs o operadors diferencials ( ) indiquen diferenciació. La funció és una solució d'una equació diferencial parcial no lineal, , amb condició inicial (valor)
Requisits La solució de l'equació diferencial compleix les condicions d'integrabilitat i de Fadeev:
Condició d'integrabilitat: Condició de Fadeev:
Parell d'operadors diferencials Els operadors diferencials de Lax i , són operadors diferencials ordinaris lineals amb coeficients que poden contenir la funció o els seus derivats. L'operador autoadjunt té una derivada temporal i genera una equació de valors propis (espectral) amb funcions pròpies i valors propis constants en el temps (paràmetres espectrals)
i
L'operador descriu com evolucionen les funcions pròpies al llarg del temps i genera una nova funció pròpia de l'operador de la funció pròpia de
Els operadors Lax es combinen per formar un operador multiplicatiu, no un operador diferencial, de les funcions pròpies
Els operadors Lax s'escullen per fer que l'operador multiplicatiu sigui igual a l'equació diferencial no lineal.
Els operadors diferencials AKNS, desenvolupats per Ablowitz, Kaup, Newell i Segur, són una alternativa als operadors diferencials Lax i aconsegueixen un resultat similar.
Transformada de dispersió directa La transformada de dispersió directa genera dades de dispersió inicials; això pot incloure els coeficients de reflexió, el coeficient de transmissió, les dades de valors propis i les constants de normalització de les solucions de la funció pròpia per a aquesta equació diferencial.
Evolució temporal de les dades de dispersió Les equacions que descriuen com evoluciona la dispersió de les dades al llarg del temps es presenten com a solucions d'una equació diferencial ordinària lineal de primer ordre respecte al temps. Utilitzant diversos enfocaments, aquesta equació diferencial lineal de primer ordre pot sorgir dels operadors diferencials lineals (parell Lax, parell AKNS), una combinació dels operadors diferencials lineals i l'equació diferencial no lineal, o mitjançant operacions addicionals de substitució, integració o diferenciació. Equacions espacialment asimptòtiques ( ) simplificar la resolució d'aquestes equacions diferencials.
Transformada de dispersió inversa L'equació de Marchenko combina les dades de dispersió en una equació integral lineal de Fredholm. La solució d'aquesta equació integral condueix a la solució, u(x,t), de l'equació diferencial no lineal.
Exemple: equació de Korteweg–De Vries L'equació diferencial no lineal de Korteweg–De Vries és
Operadors laxos Els operadors Lax són:
i
L'operador multiplicatiu és:
Transformada de dispersió directa Les solucions d'aquesta equació diferencial
pot incloure solucions de dispersió amb un rang continu de valors propis ( espectre continu ) i solucions d'estat lligat amb valors propis discrets ( espectre discret ). Les dades de dispersió inclouen coeficients de transmissió , coeficient de reflexió esquerra , coeficient de reflexió dreta , valors propis discrets , i constants de normalització (normació) d'estat lligat a l'esquerra i a la dreta.
Evolució temporal de les dades de dispersió L'esquerra espacialment asimptòtica i a la dreta Les funcions de Jost simplifiquen aquest pas.
Les constants de dependència relacionar les funcions de Jost dreta i esquerra i les constants de normalització dreta i esquerra.
El Lax L'operador diferencial genera una funció pròpia que es pot expressar com una combinació lineal dependent del temps d'altres funcions pròpies.
Les solucions d'aquestes equacions diferencials, determinades mitjançant funcions de Jost espacialment asimptòtiques d'estat lligat i de dispersió, indiquen un coeficient de transmissió constant en el temps. , però coeficients de reflexió dependents del temps i coeficients de normalització.
Transformada de dispersió inversa El nucli de Marchenko és
L'equació integral de Marchenko és una equació integral lineal resolta per a
La solució a l'equació de Marchenko, , genera la solució a l'equació diferencial parcial no lineal.
Exemples d'equacions integrables Equació de Korteweg-de Vries Equació de Schrödinger no lineal Equació de Camassa-Holm Equació de simus Gordon Toda enreixat Equació d'Ishimori Equació Dym
Referències
Categoria:Equacions en derivades parcials