En física de la matèria condensada, la frustració geomètrica (o, en resum, frustració) és un fenomen on la combinació de forces interatòmiques conflictives condueix a estructures complexes. La frustració pot implicar una plenitud d'estats fonamentals diferents a temperatura zero, i l'ordenació tèrmica habitual pot ser suprimida a temperatures més altes. Exemples molt estudiats inclouen materials amorfs, vidres i imants diluïts.
El terme frustració, en el context dels sistemes magnètics, va ser introduït per Gerard Toulouse el 1977. Els sistemes magnètics frustrats ja s'havien estudiat abans. Els primers treballs inclouen un estudi del model d'Ising sobre una xarxa triangular amb espines de veí més proper acoblats antiferromagnèticament, per GH Wannier, publicat el 1950. Característiques relacionades es produeixen en imants amb interaccions competidores, on hi ha acoblaments ferromagnètics i antiferromagnètics entre parells d' espíns o moments magnètics, amb el tipus d'interacció depenent de la distància de separació dels espíns. En aquest cas, pot resultar la commensurabilitat, com ara les disposicions d'espín helicoïdal, tal com s'havia discutit originalment, especialment, per A. Yoshimori, TA Kaplan, RJ Elliott, i altres, a partir del 1959, per descriure troballes experimentals sobre metalls de terres rares. Un renovat interès en aquests sistemes d'espín amb interaccions frustrades o competidores va sorgir unes dues dècades més tard, a partir de la dècada de 1970, en el context dels vidres d'espín i les superestructures magnètiques modulades espacialment. En els vidres d'espín, la frustració s'augmenta pel desordre estocàstic en les interaccions, tal com pot passar experimentalment en aliatges magnètics no estequiomètrics. Entre els models d'espín analitzats acuradament amb frustració s'inclouen el model de Sherrington-Kirkpatrick, que descriu vidres d'espín, i el model ANNNI, que descriu superestructures magnètiques commensurables. Recentment, el concepte de frustració s'ha utilitzat en l'anàlisi de xarxes cerebrals per identificar el conjunt no trivial de connexions neuronals i destacar els elements ajustables del cervell.
Ordenació magnètica
La frustració geomètrica és una característica important del magnetisme, on prové de la disposició relativa dels espins. Un exemple senzill en 2D es mostra a la Figura 1. Tres ions magnètics resideixen a les cantonades d'un triangle equilàter amb interaccions antiferromagnètiques entre ells; l'energia es minimitza quan cada espín està alineat en sentit oposat als veïns. Un cop els dos primers espins s'alineen antiparal·lelament, el tercer es frustra perquè les seves dues possibles orientacions, amunt i avall, donen la mateixa energia. El tercer espín no pot minimitzar simultàniament les seves interaccions amb els altres dos. Com que aquest efecte es produeix per a cada espín, l'estat fonamental és sis vegades degenerat. Només els dos estats on tots els espins són amunt o avall tenen més energia.
De la mateixa manera, en tres dimensions, quatre espines disposades en un tetraedre (Figura 2) poden experimentar frustració geomètrica. Si hi ha una interacció antiferromagnètica entre els espins, aleshores no és possible ordenar els espins de manera que totes les interaccions entre els espins siguin antiparal·leles. Hi ha sis interaccions de veí més proper, quatre de les quals són antiparal·leles i, per tant, favorables, però dues de les quals (entre 1 i 2, i entre 3 i 4) són desfavorables. És impossible que totes les interaccions siguin favorables i el sistema queda frustrat.
Gel d'aigua marc|Figura 5: Esquema de les molècules de gel d'aigua Tot i que la majoria de les investigacions anteriors i actuals sobre la frustració se centren en sistemes d'espín, el fenomen es va estudiar per primera vegada en gel ordinari. El 1936, Giauque i Stout van publicar L'entropia de l'aigua i la tercera llei de la termodinàmica. Capacitat calorífica del gel a partir de 15 K a 273 K, que informa de mesures calorímetre de l'aigua durant les transicions de congelació i vaporització fins a la fase gasosa d'alta temperatura. L'entropia es va calcular integrant la capacitat calorífica i sumant les contribucions de calor latent; les mesures de baixa temperatura es van extrapolar a zero, utilitzant la fórmula de Debye, derivada recentment. L'entropia resultant, S1 = 44,28 cal/(K·mol) = 185,3 J/(mol·K) es va comparar amb el resultat teòric de la mecànica estadística d'un gas ideal, S2 = 45,10 cal/(K·mol) = 188,7 J/(mol·K). Els dos valors difereixen en S0 = 0,82 ± 0,05 cal/(K·mol) = 3,4 J/(mol·K). Aquest resultat va ser explicat per Linus Pauling amb una aproximació excel·lent, que va demostrar que el gel posseeix una entropia finita (estimada com a 0,81 cal/(K·mol) o 3,4 J/(mol·K)) a temperatura zero a causa del desordre configuracional intrínsec als protons del gel.
En la fase de gel hexagonal o cúbica, els ions d'oxigen formen una estructura tetraèdrica amb una longitud d'enllaç O-O de 2,76 Å (276 pm), mentre que la longitud de l'enllaç O-H només mesura 0,96 Å (96 pm). Cada ió d'oxigen (blanc) està envoltat per quatre ions d'hidrogen (negre) i cada ió d'hidrogen està envoltat per 2 ions d'oxigen, com es mostra a la Figura 5. Mantenint l'estructura interna de la molècula d'H₂O, la posició d'energia mínima d'un protó no es troba a mig camí entre dos ions d'oxigen adjacents. Hi ha dues posicions equivalents que un hidrogen pot ocupar a la línia de l'enllaç O-O, una posició llunyana i una de propera. Així, una regla condueix a la frustració de les posicions del protó per a una configuració de l'estat fonamental: per a cada oxigen, dos dels protons veïns han de residir a la posició llunyana i dos a la posició propera, les anomenades "regles del gel". Pauling va proposar que l'estructura tetraèdrica oberta del gel proporciona molts estats equivalents que satisfan les regles del gel.
Pauling va calcular l'entropia configuracional de la següent manera: considereu un mol de gel, que consisteix en NO2− i 2N protons. Cada enllaç O-O té dues posicions per a un protó, donant lloc a 2x2N configuracions possibles. Tanmateix, entre les 16 configuracions possibles associades amb cada oxigen, només 6 són energèticament favorables, mantenint la restricció de la molècula d'H2O. Aleshores, un límit superior dels nombres que pot prendre l'estat fonamental s'estima com a Ω < 22NN. En conseqüència, l'entropia configuracional S0 = k B ln(Ω) = NkB ln()= 0,81 cal/(K·mol) = 3,4 J/(mol·K) està en una concordança sorprenent amb l'entropia perduda mesurada per Giauque i Stout.
Tot i que el càlcul de Pauling va ignorar tant la restricció global sobre el nombre de protons com la restricció local derivada dels bucles tancats de la xarxa wurtzita, posteriorment es va demostrar que l'estimació tenia una precisió excel·lent.
Gel d'espín marc|Figura 6: Esquema de les molècules de gel d'espín Una situació matemàticament anàloga a la degeneració del gel d'aigua es troba en els gels d'espín. A la Figura 6 es mostra una estructura comuna de gel d'espín en l'estructura cúbica de piroclor amb un àtom o ió magnètic que resideix a cadascuna de les quatre cantonades. A causa del fort camp cristal·lí del material, cadascun dels ions magnètics es pot representar mitjançant un doblet d'estat fonamental d'Ising amb un moment gran. Això suggereix una imatge d'espíns d'Ising que resideixen a la xarxa tetraèdrica que comparteix cantonades amb espíns fixos al llarg de l'eix de quantificació local, els eixos cúbics <111>, que coincideixen amb les línies que connecten cada vèrtex tetraèdric amb el centre. Cada cèl·lula tetraèdrica ha de tenir dos espins que apuntin cap a dins i dos que apuntin cap a fora per tal de minimitzar l'energia. Actualment, el model de gel d'espín s'ha realitzat aproximadament amb materials reals, sobretot els piroclorats de terres rares Ho₂Ti₂O₇ , Dy₂Ti₂O₇ i Ho₂Sn₂O₇. Tots aquests materials mostren una entropia residual diferent de zero a baixa temperatura.
Extensió del model de Pauling: frustració general El model de gel de spin és només una subdivisió de sistemes frustrats. La paraula frustració es va introduir inicialment per descriure la incapacitat d'un sistema per minimitzar simultàniament l'energia d'interacció competitiva entre els seus components. En general, la frustració és causada per interaccions competidores a causa del desordre del lloc (vegeu també el model de Villain) o per una estructura de xarxa com ara en les xarxes triangular, cúbica centrada en les cares (fcc), hexagonal compacta, tetraedre, piroclor i kagome amb interacció antiferromagnètica. Així doncs, la frustració es divideix en dues categories: la primera correspon al vidre d'espín, que té tant desordre en l'estructura com frustració en l'espín; la segona és la frustració geomètrica amb una estructura de xarxa ordenada i la frustració d'espín. La frustració d'un vidre d'espín s'entén en el marc del model RKKY, en què la propietat d'interacció, ja sigui ferromagnètica o antiferromagnètica, depèn de la distància dels dos ions magnètics. A causa del desordre de la xarxa en el vidre d'espín, un espín d'interès i els seus veïns més propers podrien estar a distàncies diferents i tenir una propietat d'interacció diferent, la qual cosa porta a una alineació preferida diferent de l'espín.
Ferromagnets artificials geomètricament frustrats Amb l'ajuda de tècniques de litografia, és possible fabricar illes magnètiques de mida submicromètrica, la disposició geomètrica de les quals reprodueix la frustració que es troba en els materials de gel d'espín naturals. Recentment, RF Wang et al. van informar del descobriment d'un imant artificial geomètricament frustrat compost per matrius d'illes ferromagnètiques d'un sol domini fabricades litogràficament. Aquestes illes s'organitzen manualment per crear un anàleg bidimensional del gel giratori. Els moments magnètics de les illes d'espín ordenades es van obtenir imatges amb microscòpia de força magnètica (MFM) i després es va estudiar a fons l'acomodació local de la frustració. En el seu treball anterior sobre una xarxa quadrada d'imants frustrats, van observar tant correlacions de curt abast semblants al gel com l'absència de correlacions de llarg abast, igual que en el gel d'espín a baixa temperatura. Aquests resultats solidifiquen el terreny inexplorat sobre el qual la física real de la frustració es pot visualitzar i modelar mitjançant aquests imants artificials geomètricament frustrats, i inspiren futures activitats de recerca.
Aquests ferroimants artificialment frustrats poden exhibir propietats magnètiques úniques quan s'estudia la seva resposta global a un camp extern mitjançant l'efecte Kerr magnetoòptic. En particular, s'ha descobert que una dependència angular no monòtònica de la coercitivitat de la xarxa quadrada està relacionada amb el desordre en el sistema de gel d'espín artificial.
Frustració geomètrica sense xarxa Un altre tipus de frustració geomètrica sorgeix de la propagació d'un ordre local, la qual cosa genera preguntes sobre l'estabilitat d'un sòlid.
De vegades és possible establir algunes regles locals, de naturalesa química, que condueixen a configuracions de baixa energia i, per tant, governen l'ordre estructural i químic. Això no és generalment el cas i sovint l'ordre local definit per les interaccions locals no es pot propagar lliurement, cosa que porta a una frustració geomètrica. Una característica comuna de tots aquests sistemes és que, fins i tot amb regles locals simples, presenten un gran conjunt de realitzacions estructurals, sovint complexes. La frustració geomètrica juga un paper en camps de matèria condensada, des de cúmuls i sòlids amorfs fins a fluids complexos.