miniatura|upright=1.5|Exemple que mostra la commutativitat de la suma: 3 + 2 = 2 + 3. En matemàtiques, la propietat commutativa o commutativitat és una propietat fonamental que tenen algunes operacions segons la qual el resultat d'operar dos elements no depèn de l'ordre en què es prenen. Això es compleix en l'addició i la multiplicació ordinàries: lordre dels sumands no altera la suma, o lordre dels factors no altera el producte. Així, per exemple, 2+3 = 3+2, i 4×5 = 5×4.
La commutativitat de les operacions elementals de sumar i multiplicar era coneguda implícitament des de l'antiguitat, tot i que no fou anomenada d'aquesta manera fins a principis del , època en què les matemàtiques contemporànies començaven a formalitzar-se. Les successives ampliacions del concepte de nombre (nombres naturals, nombres enters, nombres racionals, nombres reals) van ampliar l'abast de les operacions de sumar i multiplicar, però en totes elles es preserva la commutativitat. Aquesta propietat també se satisfà en moltes altres operacions, com ara la suma de vectors, polinomis, matrius, funcions reals, etc., o el producte de polinomis o de funcions reals.
En contraposició a l'addició i la multiplicació de nombres, la subtracció i la divisió no són operacions commutatives. Entre les operacions no commutatives cal destacar també la composició de funcions, el producte de matrius i el producte vectorial.
Tot i ser una propietat aplicada bàsicament a les operacions matemàtiques, la commutativitat o la no commutativitat són rellevants en altres camps propers com ara la lògica proposicional i algunes operacions de teoria de conjunts, i en algunes aplicacions físiques com ara el principi d'incertesa de la mecànica quàntica. Fora de l'àmbit científic, també se'n poden trobar exemples en la vida quotidiana, ja que l'execució consecutiva de dues accions pot tenir un resultat diferent segons l'ordre en què s'executin.
Definició Una operació binària en un conjunt M s'anomena commutativa si, per a qualssevol x, y de M, es compleix .
De fet, la commutativitat és un cas particular del concepte de funció simètrica. En efecte, una operació binària en M no és més que una aplicació μ: M × M M, i afirmar que aquesta és simètrica, , és exactament el mateix que requerir la propietat commutativa.
Donada una operació binària en un conjunt M, es diu que dos elements x, y de M commuten (o que són permutables) quan es compleix que . Així doncs, una operació és commutativa quan dos elements qualssevol commuten.
Exemples bàsics: addició i multiplicació de nombres La importància fonamental de la propietat commutativa rau en el fet que l'addició i la multiplicació de nombres naturals, els nombres que permeten comptar els conjunts finits, són commutatives. Per exemple, 2+3 = 5 = 3+2, 2·3 = 6 = 3·2. Expressat de manera general: per a qualssevol x, y de N, i . L'ampliació del sistema dels nombres naturals a altres sistemes numèrics: nombres enters (Z), nombres racionals (Q), nombres reals (R) i nombres complexos (C), es fa estenent-hi les operacions d'addició i multiplicació, i de manera que aquestes continuen essent commutatives. Per exemple, , . Això no vol dir que qualsevol ampliació d'un sistema numèric necessàriament vagi a respectar les propietats prèvies. L'exemple més important d'aquest fet ve donat pel cos dels quaternions H, que, igual que el dels nombres complexos, també és una extensió del cos dels nombres reals, però amb tres unitats imàginàries i, j, k en lloc d'una. La multiplicació de H no és commutativa, ja que per exemple i·j = k, diferent de j·i = -k.
En contrast amb les operacions d'addició i multiplicació, les operacions que les permeten invertir, subtracció i divisió, són clarament no commutatives. Basta posar-ne un parell d'exemples: La subtracció no és commutativa, ja que 1-2 2-1. La divisió no és commutativa, ja que 1/2 2/1. Noti's que per a poder efectuar aquests càlculs cal treballar en el sistema numèric apropiat: Z per a poder restar, i Q per a poder dividir per un nombre diferent de 0.
Propietats És important destacar que per a treure profit de la commutativitat d'una operació és necessari que aquesta sigui associativa, ja que en aquest cas la composició de n elements es pot representar (sense parèntesis) com . Per exemple (Teorema de commutativitat) Si una operació és associativa i commutativa aleshores la composició de n elements es pot calcular en qualsevol ordre:
per a qualsevol permutació dels índexs . Si una operació és associativa i dos elements x, y commuten, aleshores també commuten les seves "potències": , per a qualssevol m i n nombres naturals no nuls. En particular, totes les "potències" (n>0) commuten entre elles. Sigui una operació associativa en M. Si x commuta amb y i amb z, aleshores també commuta amb yz.
Centre
Donat un conjunt M amb una operació interna, el centre de M és el subconjunt format pels elements que commuten amb tots els altres; a vegades es representa per Z(M). Afirmar que l'operació és commutativa significa que el centre de M és tot M.
Com a conseqüència de la darrera de les propietats anteriors, si l'operació és associativa aleshores el centre de M és una part estable per l'operació (és a dir, si dos elements x, y pertanyen al centre aleshores xy també hi pertany.)
Estructures algebraiques i commutativitat Una estructura algebraica ve donada per un o diversos conjunts dotats d'operacions binàries o operacions externes. En la definició de cada tipus d'estructura algebraica s'imposa que aquestes operacions compleixin certes propietats, entre les quals hi pot haver la propietat commutativa. Quan a alguna d'aquestes operacions no s'imposa que satisfaci la propietat commutativa però tanmateix la satisfà, llavors s'afegeix l'adjectiu commutatiu al nom de l'estructura en qüestió. Un magma és un conjunt dotat d'una operació binària. Quan aquesta és commutativa es diu magma commutatiu. Un monoide és un conjunt dotat d'una operació associativa amb element neutre. Si també és commutativa, es diu monoide commutatiu. Per exemple, (N,+) i (N,·) són monoides commutatius. Un grup és un conjunt dotat d'una operació associativa, amb element neutre, i on tot element és simetritzable. Si l'operació és commutativa es diu grup commutatiu o grup abelià. Per exemple, (Z,+) és un grup commutatiu. Un anell és un conjunt A dotat de dues operacions binàries, habitualment denotades amb notació additiva (+) i notació multiplicativa (·). Respecte a la primera, (A,+) és un grup commutatiu. Respecte a la segona, (A,·) és un monoide. A més, la segona ha de ser distributiva respecte a la primera. Quan la multiplicació és commutativa, es diu anell commutatiu. Per exemple, (Z,+,·) és un anell commutatiu. Un cos és un anell on 0≠1 i tot element no nul és invertible. Un cos es diu cos commutatiu quan la multiplicació és commutativa. Per exemple, amb la suma i producte habituals, Q, R i C són cossos commutatius, mentre que el cos dels quaternions H és un cos no commutatiu. (Cal notar, però, que alguns autors prefereixen requerir la commutativitat del producte dins la definició de cos; en aquest context els cossos no commutatius són anomenats anells de divisió.) Un espai vectorial sobre un cos K és un conjunt E dotat d'una addició respecte a la qual (E,+) és un grup commutatiu, i d'una operació externa que permet multiplicar elements de E (vectors) per elements de K (escalars). Si en lloc d'un cos es considera un anell l'estructura resultant es diu mòdul. Donat un cos commutatiu K (o, més generalment, un anell commutatiu), una K-àlgebra és un conjunt A dotat d'una estructura de K-espai vectorial (K-mòdul si K és un anell) i d'una segona operació binària, usualment representada amb notació multiplicativa. Quan aquesta operació és commutativa es diu K-àlgebra commutativa. Per exemple, C i H són R-àlgebres associatives i unitàries; la primera és commutativa i la segona no. Un altre exemple de gran importància és el conjunt dels polinomis en una variable amb coeficients en K, K[X], que amb les operacions habituals de suma i producte de polinomis i de producte per escalars és una K-àlgebra associativa, commutativa i unitària.
Hi ha, però, un cas especial en què l'adjectiu commutatiu no té exactament el mateix significat que en els casos anteriors: Una K-àlgebra de Lie és una K-àlgebra tal que el seu producte, usualment denotat per (x,y) [x,y], satisfà les propietats de ser alternat ([x,x]=0 per a tot x) i la identitat de Jacobi. Es diu que és una K-àlgebra de Lie commutativa quan el producte de dos elements qualssevol és nul: [x,y]=0.
L'adjectiu commutatiu apareix també en el nom d'una branca de l'àlgebra: làlgebra commutativa, que estudia els anells commutatius i els seus mòduls.
Història miniatura|upright=1.5|El primer ús conegut del terme "commutatiu" fou en un article de Servois en francès, l'any 1814. Els primers usos implícits de la propietat commutativa es remunten a l'antiguitat. Els egipcis feien servir la propietat commutativa de la multiplicació per simplificar el càlcul de productes. A l'antiga Grècia, Euclides va assumir la propietat commutativa de la multiplicació en la seva obra Elements. Els usos formals de la propietat commutativa van aparèixer a les darreries del i als inicis del XIX, quan els matemàtics començaren a treballar en el camp de la teoria de funcions.
La primera utilització documentada de l'adjectiu commutatiu fou en un article de François-Joseph Servois l'any 1814 als Annales de Gergonne, on apareix l'expressió en francès commutatives entre elles per descriure, en la terminologia actual, el fet que dues funcions commuten. L'any 1841 Duncan Farquharson Gregory usà l'expressió en anglès commutative law en el seu llibre Examples of the processes of the differential and integral calculus per referir-se a la possibilitat de commutar dues operacions. Aquest ús fou recollit poc després, l'any 1844, per George Boole en un article al Philosophical Transactions.
Altres usos i exemples de commutativitat Lògica proposicional La propietat commutativa també és aplicable a algunes operacions de la lògica proposicional.
Regla de substitució En lògica proposicional, la commutació es troba en algunes regles de substitució:
i , on "" és un símbol metalògic que significa "en una demostració formal, s'hi pot substituir".
Connectius de funcions de veritat La commutativitat és una propietat d'algunes connectives lògiques de la lògica proposicional, que s'expressa amb equivalències lògiques:
Commutativitat de la conjunció
Commutativitat de la disjunció
Commutativitat de la implicació (també anomenada llei de la permutació)
Commutativitat de l'equivalència (també anomenada llei commutativa completa de l'equivalència)
Teoria de conjunts La unió i la intersecció de conjunts són operacions commutatives. Encara que aquestes operacions es poden efectuar amb famílies arbitràries de conjunts, quan es tracta de dos conjunts aquestes propietats s'expressen .
La suma i el producte de cardinals són operacions commutatives. Si i són dos cardinals, aleshores . Això implica en particular que la suma i el producte de nombres naturals (és a dir, els cardinals dels conjunts finits) són commutatives. La commutativitat de la suma és conseqüència de la de la unió de conjunts. La commutativitat del producte és conseqüència del fet que un producte cartesià de conjunts té el mateix nombre d'elements independentment de com es realitzi aquest producte.
En contrast amb els cardinals, en general la suma i el producte d'ordinals transfinits no són commutatives. Per exemple, si ω és l'ordinal de N, 1+ω ≠ ω+1.
Altres operacions algebraiques