Leonardo de Pisa

, també conegut com a Leonardo Pisano, Leonardo Bonacci, Leonardo Fibonacci o, de forma més comuna, simplement Fibonacci, va ser un matemàtic italià, potser un dels matemàtics amb més talent de l'edat mitjana. Va fer molts viatges per tota la Mediterrània: Síria, Egipte, Grècia, França, Sicília, i el nord d'Àfrica.

Fibonacci és conegut actualment per: Haver contribuït a la difusió del sistema de numeració indoaràbic a Europa, sobretot per la publicació a principis del del seu Llibre dels càlculs, el Liber Abaci. Una successió numèrica molt utilitzada, coneguda amb el seu nom com a successió de Fibonacci, que va utilitzar com a exemple en el Liber Abaci.

Aplicà l'àlgebra als problemes geomètrics. Desenvolupà la trigonometria i feu treballs interessants sobre les equacions quadràtiques.

Biografia miniatura|Bust de Leonardo de Pisa, dit il Fibonacci, obra de Bertel Thorvaldsen (Museu Thorvaldsen, Copenhagen)Museu Thorvaldsen, Copenhagen, 15 d'agost de 2008. Foto de Stefano Bolognini. Leonardo va néixer a Pisa. El seu pare, Guglielmo, era conegut amb el malnom de Bonaccio ('bon jan' o 'simple'). La mare de Leonardo, Alessandra, va morir quan ell tenia nou anys. Leonardo va ser anomenat pòstumament Fibonacci (de filius Bonacci, 'fill de Bonaccio').Vegeu l'íncipit del Liber Abaci: "Incipit liber Abaci Compositus a leonardo filio Bonacij Pisano" (copiat de "Prologus" del Liber Ab(b)aci al Wikisource de llatí), en català: "Aquí comença el llibre de Càlcul escrit per Leonardo, fill de Bonaccio, de Pisa"

Guglielmo dirigia un establiment comercial -segons algunes fonts, era l'assessor de Pisa- a Bugia, un port a l'est d'Alger, al soldanat de la dinastia almohade a l'Àfrica del nord (avui Algèria). De jove, Leonardo hi va viatjar per ajudar-lo. Va estar a Egipte, Síria, Grècia, Sicília i Provença. Va ser en tots aquests viatges on aprengué el sistema de numeració aràbiga.

Per la seva falta d'atenció a les qüestions de comerç i la preferència per les activitats matemàtiques, els seus compatriotes li varen posar el malnom despectiu de Bigollone.

Observant que l'aritmètica àrab, que havia après amb el seu pare, era un sistema més simple i eficient que la numeració romana, Fibonacci va viatjar per tot el Mediterrani per estudiar i aprendre dels millors matemàtics àrabs del seu temps. Va tornar a Pisa dels seus viatges cap al 1200. L'any 1202, a l'edat de 32 anys, va publicar el Liber Abaci (Llibre de l'àbac o Llibre de càlcul), amb el qual es va introduir la numeració indoaràbiga a Europa. Al Liber Abaci, Leonardo mostra per primer cop, amb exemples per a cada cas, la superioritat de la numeració aràbiga sobre el sistema romà preexistent. Si bé aquest no era el primer llibre escrit a Itàlia que tractés sobre la numeració aràbiga, cap més no ho havia fet tan extensament ni amb un contingut tant raonat.

Fibonacci és anterior a la impremta, per tant, els seus llibres van ser manuscrits. Dels seus llibres, encara tenim còpies del Liber Abaci (1202), Practica Geometriae (1220), Flos (1225), i el Liber quadratorum. Però sabem que va escriure alguns textos més, que, malauradament, estan perduts. El seu llibre d'aritmètica comercial Di minor guisa s'ha perdut, igual que el seu comentari sobre el llibre X dels Elements d'Euclides, que tenia un tractament numèric dels nombres irracionals a què Euclides s'havia acostat des d'un punt de vista geomètric. També va fer un treball sobre els nombres quadrats, del qual es coneixia l'existència d'un manuscrit a Florència el 1768, però no s'ha pogut trobar.

Es podria pensar que en una època que Europa estava poc interessada en l'erudició, Fibonacci hauria estat força ignorat. Això, però, no és així, i el gran interès en la seva obra, sense dubte, va contribuir força a la seva importància. Fibonacci va ser contemporani de Jordanus Nemorarius i de Robert Grosseteste, però ells van ser matemàtics força més sofisticats, i els èxits de Fibonacci van ser més fàcilment reconeguts, malgrat que van ser les seves aplicacions pràctiques, més que els teoremes abstractes, les que el van fer famós per als seus coetanis.

Frederic II, el sacre emperador romanogermànic, havia estat coronat pel papa a l'església de Sant Pere de Roma el novembre de 1220. Frederic II va donar suport a Pisa durant els seus conflictes amb Gènova al mar i amb Lucca i Florència a terra, i la va utilitzar fins al 1227 per a consolidar el seu poder a Itàlia. Al comerç i la indústria hi havia el control de l'estat, i per supervisar aquest monopoli hi havien funcionaris civils a la Universitat de Nàpols, que Frederic va fundar per a aquest propòsit el 1224.

Frederic va tenir notícies de l'obra de Fibonacci pels erudits de la seva cort que havien tingut correspondència amb ell d'ençà que va tornar a Pisa, al voltant del 1200. Aquests erudits incloïen Michael Scotus, que era l'astròleg de la cort, Theodorus Physicus, filòsof de la cort, i Dominicus Hispanus, que va suggerir a Frederic que es trobés amb Fibonacci quan la cort era a Pisa, al voltant del 1225.

Leonardo s'hi va fer amic, i va ser convidat de l'emperador Frederic, a qui l'interessaven les matemàtiques i la ciència.Vegeu l'íncipit de Flos: "Incipit flos Leonardi bigolli pisani...", on es refereix a Leonardo com a Leonardo Bigollo (citat en el document Sources in Recreational Mathematics: An Annotated Bibliography de David Singmaster, 18 de març de 2004), en català: "Aquí comença 'la flor' de Leonardo el trotador de Pisa..."

Johannes de Palerm, un altre membre de la cort de Frederic II, va presentar un conjunt de problemes com a reptes per al gran matemàtic Fibonacci. Tres d'aquests problemes van ser resolts per Fibonacci, i va donar les solucions al llibre Flos, que va enviar a Frederic II.

Després de 1228, només hi ha un document conegut pel que fa a Fibonacci. Aquest és un decret de la República de Pisa el 1240, amb el qual s'atorga un salari a:

... el seriós i culte mestre Leonardo Bonacci ....

Aquest salari va ser atorgat a Fibonacci en reconeixement pels serveis que havia prestat a la ciutat, aconsellant sobre temes de comptabilitat i ensenyant als ciutadans.

Treballs matemàtics miniatura|Full del Liber Abaci de Leonardo da PisaLeonardo da Pisa, Liber abbaci, Ms. Biblioteca Nazionale di Firenze, Codice magliabechiano cs cI, 2626, fol. 124r Abans de la publicació del Liber Abaci, cap escriptor cristià no havia fet servir els nombres àrabs o indis. Els manuscrits existents, i els que semblen haver existit prèviament, es creu que varen ser escrits per jueus i per àrabs andalusins. El Dr. Peacock (Encyclopedia Metropolitana) havia arribat a la conclusió que les obres de Fibonacci eren les primeres on hi han aquestes xifres. Cal destacar que l'autor no va ser conegut fins al , quan Giovanni Targioni Tozzetti va trobar els manuscrits a Florència. La intenció de Commandine i Bernard era demostrar que abans ja es coneixien.. pàg.840

miniatura|esquerra|Algorisme de multiplicació per cel·les. Es dibuixa una xarxa de cel·les com la de la figura, el nombres a multiplicar s'escriuen al damunt i a la dreta; en cada quadrat s'escriuen separades per la diagonal les dues xifres resultat de multiplicar la xifra de la fila per la xifra de la columna. Finalment, se sumen les diagonals i s'obté el resultat de la multiplicació Liber Abaci Quan va aparèixer el Liber Abaci de Fionacci per primera vegada, només uns pocs intel·lectuals europeus coneixien el nombres indoaràbics per traduccions dels escrits del matemàtic àrab del , Al-Khwarizmi.

Al Liber Abaci (1202), Fibonacci presenta l'anomenat modus Indorum ('mètode dels indis'), que avui es coneix com els nombres aràbics (Sigler, 2003; Grimm, 1973). El llibre ensenya la numeració amb els dígits 0-9, i explica la notació posicional. El llibre mostra la gran practicitat d'aquest "nou" sistema de numeració, mitjançant l'ús de la multiplicació per cel·les (un algorisme de multiplicació) i la fracció egipciana, tot aplicant-lo a la comptabilitat, la conversió de mesures i pesos, càlculs d'interès, canvi de monedes, i altres aplicacions.

El llibre va ser molt ben rebut a tota l'Europa instruïda, i va fer un gran impacte al pensament europeu.

El Liber Abaci també planteja, i resol, un problema que implica el creixement d'una hipotètica població de conills sobre una base de supòsits idealitzada. La solució, generació per generació, és una seqüència de nombres més tard coneguda com a successió de Fibonacci. Aquesta seqüència ja era coneguda pels matemàtics indis el , però va ser Fibonacci, mitjançant aquest llibre, qui la va portar a Occident.

Successió de Fibonacci

Fibonacci considera el creixement d'una població de conills idealitzada (biològicament irreal), suposant que: El mes "zero", hi ha un parell de conills (parells addicionals de conills = 0). El primer mes, el primer parell cria un altre parell (parells addicionals de conills = 1). El segon mes, cada parell de conills en té un altre parell, però el primer parell mor (parells addicionals de conills = 1). El tercer mes, el segon parell i el nou (dos parells) en tenen un total de tres parells nous, i el segon parell més vell mor (parells addicionals de conills = 2).

El resultat d'això és que cada parell de conills té 2 parells a la vida, i mor.

Sia la població al mes n F(n). En aquest moment, només els conills que eren vius al mes n − 2 són fèrtils i es reprodueixen, així s'afegeixen F(n − 2) parells de conills a la població actual de F(n − 1). Per tant, el total és F(n) = F(n − 1) + F(n − 2).

És a dir, a la successió de nombres de Fibonacci, cada nombre és la suma dels dos nombres anteriors, començant amb 0 i 1. Així comença la successió:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, etc.

Els nombres més alts de la successió, si es prenen dos nombres consecutius d'aquesta i es divideixen, dona un resultat molt proper a la raó àuria (aproximadament, 1: 1,618 i 0,618: 1); de fet, la raó àuria n'és la tendència d'aquesta operació.

Liber Quadratorum L'any 1225 publica el seu segon i principal llibre: Liber Quadratorum, 'El llibre dels quadrats', arran d'un desafiament fet per Joan de Palerm, un altre matemàtic de la cort de Frederic II, el qual li proposà de trobar un quadrat tal que si se li sumés o restés el nombre cinc, donés com a resultat, en ambdós casos, nombres quadrats.

En notació moderna: x² + 5 = y² i x² - 5 = z²

Fibonacci inicià la resolució del problema amb els coneixements rudimentaris que es disposava vers els nombres quadrats des de l'antiga Grècia, tot avançant gradualment, resolent, una rere l'altra, proposicions fins a trobar la solució al problema d'anàlisi indeterminada.

Inicialment, Leonardo, a la seva obra, parteix de la simple observació:

És a dir: 1=1², 1+3=2², 1+3+5=3²...

O en general, en notació moderna:

A partir d'aquí, podia haver contestat immediatament que el problema no té solució. Fixeu-vos que la diferència entre dos quadrats ha de ser igual a la suma d'una sèrie de nombres senars consecutius. Al problema es demana que y² - z² = 10, però no hi ha cap successió de nombres senars consecutius que doni 10 (3+5=8, 3+5+7=15, 5+7=12, i totes les altres donen més de 10). Però Fibonacci generalitza el problema i busca la solució per al cas general.

Al llibre, presenta el concepte d'uns nombres que denominà congruents, i que defineix, en terminologia actual, com c = m·n (m² - n²), on m i n són naturals senars amb m > n. D'aquesta manera, el més baix d'aquests nombres és el 24. Enuncia i demostra que el producte d'un nombre congruent per un quadrat dona com a resultat un altre nombre congruent.

Utilitza aquests nombres com a eines per a les seves posteriors proposicions, fent-los intervenir en una identitat que és coneguda amb el nom d'identitat de Fibonacci. Que té el valor determinat per la fórmula: [1/2(m²+n²)]² ± mn (m² - n²) = [1/2(m² - n²) ± mn]²; i permet trobar amb facilitat solucions possibles al problema.