En algebra lineal, la ‘’’matriu de Sylvester’’’ de dos polinomis aporta informacions d'ordre aritmètic sobre aquests polinomis. S'anomena així en honor de James Joseph Sylvester. Serveix per a la definició del resultant de dos polinomis.

Definició Siguen p i q dos polinomis no nuls, de graus respectius m i n.

la matriu de Sylvester associada a p i q és la matriu quadrada definida així: la primera fila es forma amb els coeficients de p, seguits de zeros:

la segona fila s'obté a partir de la primera per permutació circular cap a la dreta les (m-2) files següents s'obtenen repetint la mateixa operació la fila (m+1) es forma amb els coeficients de q, seguits de zeros:

les línies següents es formen per permutacions circulars.

Així en el cas m=4 i n=3, la matriu obtinguda és

El determinant de la matriu de p i q es diu determinant de Sylvester o resultant de p i q.

Aplicacions L'equació Bézout d'incògnites els polinomis x (de grau <m) i y (de grau <n)

Es pot reescrure matricialment

en la qual és el vector de mida dels coeficients del polinomi x i el vector de mida .

Així el nucli de la matriu de Sylvester dona totes les solucions de l'equació de Bézout amb i .

El rang de la matriu de Sylvester determina el grau del màxim comú divisor de i . .

Vegeu també Resultant

Categoria:Polinomis Sylvester