fou un matemàtic i científic alemany que feu descobertes significatives en molts camps, incloent-hi la teoria de nombres, l'estadística, l'anàlisi, la geometria diferencial, la geodèsia, l'electroestàtica, l'astronomia i l'òptica. Conegut de vegades com a Princeps mathematicorum (en llatí, «el Príncep dels matemàtics» o «el Primer dels matemàtics») i el «més gran matemàtic des de l'antiguitat», Gauss ha tingut una influència destacable en molts camps de la matemàtica i de la ciència, i se'l considera un dels matemàtics més influents de la història. De les matemàtiques en deia que eren "la reina de les ciències".
Gauss fou un nen prodigi. Hi ha moltes anècdotes referents a la seva precocitat d'infant. Feu els primers descobriments matemàtics innovadors quan encara era adolescent. Completà les Disquisitiones arithmeticae, la seva obra magna, el 1798, a l'edat de vint-i-un anys, tot i que no van ser publicades fins al 1801. Aquesta obra fou fonamental per a consolidar la teoria de nombres com a disciplina, i influeix en aquest camp fins a l'actualitat.
Biografia Primers anys (1777–1798) miniatura|esquerra|Estàtua de Gauss a Brunsvic, la seva ciutat de naixement Gauss nasqué el 30 d'abril de 1777 a Brunsvic (ducat de Brunsvic-Lüneburg, avui part de la Baixa Saxònia d'Alemanya), fill únic de pares de classe obrera. Tenia un mig-germà gran, del primer matrimoni de son pare.
Segons l'anecdotari, el seu geni matemàtic ja es notà a l'edat de tres anys, quan corregí, de cap, un error que havia fet el pare mentre feia càlculs de sou. També es diu que, a l'escola elemental, el mestre provà d'entretenir els alumnes fent-los sumar tots els nombres enters de l'1 al 100; pocs segons després, el jove Gauss, deixant tothom bocabadat, hi donà la resposta correcta, car s'havia adonat que, en sumar els elements de dos en dos començant pel primer i l'últim, sortien sumes idèntiques (1+100=101, 2+99=101, 3+98=101, etc.) i que, per tant, la suma total era de 50 × 101 = 5050. Aquest fet sorprengué el mestre, Martin Bartels. Els detalls de la història són incerts. Vegeu la discussió de la cita original de Wolfgang Sartorius von Waltershausen i els canvis en altres versions; alguns autors, com Joseph J. Rotman al seu llibre A first course in Abstract Algebra, qüestionen si el fet ocorregué realment o no.
Les habilitats intel·lectuals de Gauss atragueren l'atenció del Duc de Brunsvic, que el feu entrar al Collegium Carolinum (ara Universitat Tècnica de Brunsvic). Va estudiar-hi de 1792 fins a 1795, i va continuar de 1795 a 1798 a la Universitat de Göttingen. D'estudiant a la universitat, redescobrí, de manera independent, alguns teoremes importants. El 1796 aconseguí demostrar que qualsevol polígon regular de n costats, sempre que n sigui el producte d'una potència de 2 per un nombre primer de Fermat, es pot construir amb regle i compàs, un problema de construcció que havia ocupat els matemàtics des de la Grècia clàssica. Gauss se'n sentí tan complagut, d'aquest resultat, que demanà que s'inscrivís a la seva tomba un polígon regular de 17 costats. El picapedrer refusà l'encàrrec dient que aquesta construcció tan difícil fóra essencialment molt semblant a la d'un cercle. Aquest resultat fou determinant, per al jove Gauss, ja que el feu inclinar pels estudis de matemàtiques, en comptes dels de filologia.
L'any 1796 fou el més productiu de Gauss, i per a la teoria de nombres. Descobrí la construcció de l'heptadecàgon regular, el 30 de març. Inventà l'aritmètica modular, el que va simplificar enormement les operacions en teoria de nombres. Fou el primer a demostrar la llei de reciprocitat quadràtica, el 8 d'abril. Aquesta important llei general permet als matemàtics determinar la solucionabilitat de qualsevol equació quadràtica per mitjà de l'aritmètica modular. El teorema dels nombres primers, conjecturat el 31 de maig, dona una bona idea de com els nombres primers es distribueixen en la successió dels naturals. Gauss també descobrí, el 10 de juliol, que tot nombre enter positiu es pot representar com a suma de la majoria dels nombres triangulars, i després anotà al seu diari les famoses paraules, «Eureka! num = Δ + Δ + Δ.» L'1 d'octubre publicà un resultat sobre el nombre de solucions dels polinomis amb coeficients en un cos finit, que fou el precursor de les conjectures de Weil de cent cinquanta anys més tard.
Mitjana edat (1799–1830) Al seu doctorat in absentia, el 1799, de tesi Una nova demostració del teorema que cada funció algebraica racional d'una sola variable pot ser resolta en factors reals de primer o de segon grau, Gauss hi demostrà el teorema fonamental de l'àlgebra, que planteja que tot polinomi d'una sola variable en el pla complex té almenys una arrel. Altres matemàtics, incloent-hi Jean le Rond d'Alembert, n'havien fet falses demostracions abans que ell, i la de Gauss incloïa una crítica del treball de d'Alembert. Irònicament, en l'estàndard vigent en les matemàtiques actuals, l'intent de Gauss no és acceptable, ja que s'hi fa un ús implícit del teorema de la corba de Jordan. Gauss fou el primer a demostrar el teorema fonamental de l'àlgebra; durant la seva vida en trobà quatre demostracions completament diferents. L'última demostració, el 1849, resultà ser general i d'exposició rigorosa. Els seus intents de demostració aclariren considerablement el concepte de nombres complexos.
miniatura|esquerra|Pàgina del títol de l'obra Disquisitiones arithmeticae per Gauss. Gauss feu també importants contribucions a la teoria dels nombres amb el seu llibre Disquisitiones Arithmeticae, traduïda al català, que dedica sis seccions a la teoria de nombres, donant a aquesta branca matemàtica una estructura sistematitzada. A l'última secció del llibre hi exposa la seva tesi doctoral.
Aquell mateix any, l'astrònom italià Giuseppe Piazzi descobrí el planeta nan Ceres, però només el pogué veure durant uns quants dies. Gauss en predigué correctament l'òrbita mitjançant aproximacions d'arrels quadrades, per tal que se'l pogués tornar a veure. Així, fou redescobert per Franz Xaver von Zach, el 31 de desembre de 1801, a l'observatori de Gotha, i també l'endemà, per Heinrich Olbers, a Bremen.
El mètode que feu servir Gauss es basava a determinar una secció cònica a l'espai, donat un focus (el sol), la intersecció de la cònica amb tres línies determinades (les línies de visió des de la terra --que es mou en una el·lipse-- al planeta) i el temps necessari perquè el planeta creués els arcs determinats per aquestes línies (de les quals es poden calcular les longituds dels arcs mitjançant la Segona Llei de Kepler). Aquest problema dona lloc a una equació de grau vuit, de la qual es coneix una solució, l'òrbita de la Terra. La solució cercada és aleshores separada de les sis restants, basant-se en condicions físiques. En aquest treball Gauss feu servir mètodes d'aproximació exhaustiva que ell mateix havia creat amb aquest propòsit. Zach va remarcar que "sense el treball intel·ligent i els càlculs fets pel doctor Gauss podríem no haver tornat a trobar Ceres."
Gauss es mantenia gràcies a la paga del duc de Brunswick, però no li agradava la inseguretat d'aquesta situació ni creia que les matemàtiques fossin prou importants per a merèixer aquest suport. Així, intentà aconseguir un càrrec com a astrònom, i el 1807 fou designat professor d'astronomia i director de l'observatori astronòmic de Göttingen, posició que mantingué la resta de la seva vida.
El descobriment de Ceres per Piazzi l'1 de gener de 1801 dugué Gauss a treballar en la seva teoria del moviment dels planetoides pertorbats per planetes grans, publicada finalment el 1809 sota el títol Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientum (teoria del moviment de cossos celestes en seccions còniques al voltant del sol). Piazzi només havia estat capaç de veure Ceres durant un parell de mesos, seguint-lo al llarg de tres graus en el cel de nit. Després, Ceres desaparegué temporalment sota la brillantor del sol. Uns mesos més tard, quan hauria d'haver reaparegut, Piazzi no aconseguí de localitzar-lo: les eines matemàtiques de l'època no servien per a extrapolar una posició a partir de les dades adquirides en un recorregut tan minso, de tres graus, que només representava l'1% de la seva òrbita.
Gauss, que llavors tenia vint-i-tres anys, en assabentar-se del problema decidí abordar-lo. Després de tres mesos de treball intens, predigué la posició de Ceres el desembre de 1801 —justament un any després d'haver-se'l vist per primera vegada— amb una precisió de mig grau. En aquest procés, optimitzà les treballoses matemàtiques del per a la predicció orbital, tant, que el seu treball —publicat uns quants anys més tard com a Teoria del Moviment Celeste— roman com un pilar de la computació astronòmica. Hi introduí la constant gravitacional de Gauss, i un tractament influent del mètode dels mínims quadrats, procediment que es fa servir avui dia a totes les ciències per a minimitzar l'impacte dels errors de mesura. Gauss fou capaç de demostrar el mètode el 1809 sota l'assumpció d'errors normalment distribuïts (vegeu el teorema de Gauss-Markov). El mètode havia estat descrit abans per Adrien-Marie Legendre, el 1805, però Gauss remarcà que en feia ús des de 1795 ()
miniatura|Retrat de Gauss publicat en Astronomische Nachrichten, 1828
El 1818 començà un estudi d'agrimensura (mesurament d'àrees i la rectificació de límits) per al Regne de Hannover, treball que posteriorment el duria al desenvolupament de la distribució normal, tot i no haver estat Gauss el primer a desenvolupar-la. Així, posava en pràctica les seves habilitats de càlcul, enllaçant també amb estudis similars prèviament fets a Dinamarca. Per a poder escometre aquest estudi, Gauss s'inventà l'heliotropi, instrument que fa servir un mirall per reflectir la llum a grans distàncies i calcular posicions.
Gauss descobrí la possibilitat de les geometries no-euclidianes, però no en publicà mai res, de por de l'escàndol que provocaria (aquest descobriment seria un gran paradigma de canvi, en matemàtiques, car alliberà els matemàtics de la creença errònia que els axiomes d'Euclides eren l'única manera de construir una geometria consistent i no-contradictòria; a més, les investigacions en aquestes altres geometries havien de dur, entre altres coses, a la teoria general de la relativitat d'Einstein, que descriu l'univers com a no-euclidià). Aquesta informació es troba en les cartes de Gauss a Farkas Bolyai. El seu amic Bolyai, a qui jurà "germandat i l'estendard de la veritat", havia intentat demostrar durant anys el postulat de les paral·leles usant els altres axiomes geomètrics d'Euclides, sense resultat. El fill de Bolyai, János Bolyai, redescobrí la geometria no-euclidiana, i després de veure-ho, Gauss escrigué a Farkas Bolyai: "Elogiar-ho seria equivalent a elogiar-me a mi mateix. El contingut sencer del treball... coincideix quasi exactament amb les meves meditacions, que ocuparen la meva ment en el passat, durant trenta o trenta-cinc anys."
miniatura|esquerra|Quatre distribucions normals Gaussianes d'estadística.
Les cartes de Gauss, anys abans de 1829, el mostren discutint de manera críptica el problema de les línies paral·leles. Waldo Dunnington, un estudiós de Gauss, prova de manera reeixida, a Gauss, Titan of Science, que es trobava en efecte en possessió de la geometria no-euclidiana prou temps abans que fos publicada per János Bolyai, però que no volgué publicar-la per la seva por a la controvèrsia.