Absolutní hodnota je matematický pojem, který souvisí s pojmy velikosti a vzdálenosti. Vyjadřuje vzdálenost obrazu čísla na číselné ose od nuly a značí se dvěma svislými čarami: . Absolutní hodnota čísla je vždy číslo nezáporné, tedy větší nebo rovno nule. Absolutní hodnota z kladného čísla je stejné číslo (; např. ). Absolutní hodnota ze záporného čísla je číslo opačné (; např. ). Absolutní hodnota z nuly je nula.
Zápis || s mezi svislicemi představil Karl Weierstrass v roce 1841. Stejný zápis se užívá taktéž k označení mohutnosti.
Definice a vlastnosti
Reálná čísla Absolutní hodnota reálného čísla je definována následovně:
Jak je patrné z výše uvedené definice, absolutní hodnota čísla je vždy nezáporné číslo.
Pro každé reálné číslo platí:
(trojúhelníková nerovnost)
(pro b ≠ 0)
Absolutní hodnota v nerovnosti (pro ):
Tyto vztahy se často používají pro řešení nerovnic s absolutní hodnotou.
Například:
Absolutní hodnota funkce je funkce označovaná , jejíž funkční hodnoty jsou rovny a která má definiční obor .
Podle definice absolutní hodnoty reálného čísla je:
Funkce s absolutní hodnotou – Tím se rozumí funkce, která vychází z jakékoli funkce (lineární, kvadratické, logaritmické, goniometrické atd.), pokud ve svém předpisu obsahuje absolutní hodnotu.
Absolutní hodnota jako funkce je pro reálná čísla definována takto: . náhled|Graf funkce absolutní hodnoty reálného čísla Její vlastnosti:
klesající v intervalu ; rostoucí v intervalu ; je zdola omezená, shora omezená není; v bodě 0 má minimum, nemá maximum; je sudá, není prostá, není periodická; spojitá ve všech bodech a diferencovatelná ve všech bodech kromě = 0.
Komplexní čísla Absolutní hodnota komplexního čísla je rovna vzdálenosti bodu, který je obrazem tohoto čísla v Gaussově rovině, od počátku soustavy souřadnic. Všechna komplexní čísla , která mají stejnou absolutní hodnotu, vyplní v Gaussově rovině kružnici se středem v počátku a s poloměrem rovným číslu . Absolutní hodnoty komplexních čísel jsou v Gaussově rovině rovny vzdálenostem obrazů komplexních čísel od počátku soustavy souřadnic.
Absolutní hodnota komplexního čísla , kde a jsou reálná čísla, je definována vztahem: kde
Vlastnosti:
Imaginární část komplexního čísla je rovna nule, pak je absolutní hodnota komplexního rovna absolutní hodnotě reálného čísla . Pokud je komplexní číslo v exponenciálním (polárním) tvaru jako kde r ≥ 0 a θ náleží reálným číslům absolutní hodnota je . , kde z s pruhem je číslo komplexně sdružené k . Absolutní hodnota komplexního čísla má vlastnosti reálné absolutní hodnoty uvedené výše v rovnicích (2) až (11). Pro komplexní čísla je absolutní hodnota spojitá ve všech bodech, ale není diferencovatelná v žádném bodě.
Kvaterniony viz také kvaternion
Definice normy kvaternionu: , kde .
Norma kvaterninonu, zapsaná v algebraickém tvaru je dána definicí: , kde , , a jsou reálná čísla.
Vektory viz také vektor
Absolutní hodnota (norma) nebo délka vektoru v trojrozměrném euklidovském prostoru je definována výrazem .
Pomocí souřadnic vektoru v ortonormální bázi je jeho norma dána výrazem: .
Definice vyjádřená skalárním součinem: , kde je vektor komplexně sdružených čísel.
Pro normu vektoru se používá označení ||x||, ke zdůraznění, že argumentem normy není číslo, ale vektor.
Abstraktně se norma na komplexním vektorovém prostoru zavádí jako reálná funkce těmito požadavky:
(nezápornost), (definitnost), (homogenita), (trojúhelníková nerovnost),
pro všechny .
Prostory Základní vlastnosti absolutní hodnoty pro reálná čísla (viz 2. až 5. – reálná čísla) lze použít k zobecnění absolutní hodnoty v libovolném prostoru.
Absolutní hodnota reálná funkce v v poli F platí, pokud splňuje tyto čtyři axiomy:
Absolutní hodnotu reálných a komplexních čísel je možno uvést jako příklady absolutních hodnot pro libovolné pole.
Jestliže v je absolutní hodnota F, pak funkce d na F × F, kde d(a, b) = v(a − b), je metrikou a platí následující: splňuje nerovnost pro všechna je omezená v pro každé pro všechna pro všechna
Vztah absolutní hodnoty k funkci signum Pomocí znaménkové funkce signum lze vyjádřit absolutní hodnotu jako
.
Platí také
.
Derivace Funkce absolutní hodnoty má konstantní derivaci pro x≠0, v bodě x=0 neexistuje:
.
Platí tedy
.
Druhá derivace |x| je nula, mimo hodnoty pro x=0, kde neexistuje.
Neurčitý integrál Neurčitý integrál (primitivní funkce) funkce absolutní hodnoty je:
Vzdálenost Absolutní hodnota úzce souvisí s myšlenkou vzdálenosti. Jak bylo uvedeno výše, absolutní hodnota reálného nebo komplexního čísla je vzdálenost čísla od počátku (na reálné ose pro reálná čísla, v komplexní rovině pro komplexní čísla). Obecně: absolutní hodnota rozdílu dvou čísel (reálných nebo komplexních) je vzdálenost mezi nimi.
Standardní eukleidovská metrika mezi dvěma body
a
je v eukleidovském prostoru definována jako
Absolutní hodnotu rozdílu |a − b|, kde a i b jsou reálná čísla, lze vyjádřit jako
Zatímco absolutní hodnotu rozdílu |a − b|, kde a i b jsou komplexní čísla
a , pak
Zobecnění Reálné zobrazení se nazývá metrika, jestliže splňuje tyto čtyři axiomy (pro libovolná ):
Reference
Externí odkazy
Kategorie:Numerická matematika Kategorie:Unární operátory