Soustava lineárních rovnic

V matematice se soustavou lineárních rovnic označuje systém jedné nebo více lineárních rovnic se společnými neznámými.

Příkladem soustavy tří lineárních rovnic o třech neznámých je: náhled|vpravo|V soustavě lineárních rovnic o třech neznámých určují rovnice polohu rovin. Souřadnice průsečíku jsou řešením soustavy.

Jsou-li neznámým proměnným přiřazeny hodnoty tak, že všechny rovnice soustavy platí zároveň, nazývá se tato volba hodnot řešením soustavy. V naší ukázce je řešením uspořádaná trojice , protože splňuje všechny tři rovnice současně. Slovo „soustava“ naznačuje, že podmínky dané rovnicemi je třeba splnit najednou, nikoli jen některé.

Soustava lineárních rovnic je ústřední pojem lineární algebry, oboru, který je používán ve mnoha oblastech moderní matematiky. Algoritmy pro nalezení řešení jsou důležitou součástí numerické lineární algebry.

Důležitost této oblasti matematiky spočívá v tom, že fyzikální modely bývají metodou konečných prvků nebo metodou konečných diferencí převáděny na úlohy s obrovskými soustavami lineárních rovnic. Proto hrají metody pro práci s těmito rovnicemi a algoritmy pro řešení těchto rovnic významnou roli ve strojírenství, fyzice, chemii, informatice a ekonomii.

Soustava nelineárních rovnic může být často aproximována lineární soustavou rovnic (viz lineární aproximace), což je užitečná technika při vytváření matematického modelu, počítačové simulace nějakého komplexního systému.

Řešení soustav lineárních rovnic se uplatňuje ve speciálních optimalizačních úlohách nazývaných lineární programování.

Velmi často jsou koeficienty rovnic i hledaná řešení reálná nebo komplexní čísla, ale celá teorie lineární algebry i její algoritmy platí, i když se namísto čísel vezmou prvky libovolného algebraického tělesa. Pro řešení soustav v jiných algebraických strukturách byly vybudovány jiné postupy a jiné teorie. Například pro okruh celých čísel poskytuje celočíselné lineární programování řadu metod pro nalezení „nejlepšího“ celočíselného řešení. Dalším příkladem je teorie Gröbnerových bází, v níž se pro koeficienty i neznámé používají polynomy. Ještě exotičtějším příkladem je tropická geometrie.

Základní ukázky

Triviální příklad Soustava jedné rovnice o jedné reálné neznámé

má jednoznačné řešení

Nicméně, za soustavu bývá zpravidla považován systém s alespoň dvěma rovnicemi.

Jednoduchý netriviální příklad Nejjednodušší netriviální soustavu lineárních rovnic tvoří dvě rovnice o dvou neznámých, například:

Tuto soustavu lze vyřešit tak, že se z první rovnice vyjádří v závislosti na :

a tento výraz se dosadí do druhé rovnice:

Výsledná rovnice má pouze jednu neznámou s řešením . Zpětným dosazením do první rovnice lze dopočítat hodnotu neznámé .

Uvedený postup lze zobecnit pro soustavy s více neznámými (viz odstavec „eliminace neznámých“ níže nebo článek o elementární algebře).

Obecný tvar Soustava lineárních rovnic o neznámých bývá obvykle zapsána ve tvaru

kde proměnné … , jsou neznámé a čísla jsou koeficienty soustavy. Čísla , kde , jsou absolutní členy soustavy (též tzv. pravá strana soustavy). Koeficienty i absolutní členy mohou být prvky libovolného tělesa, tedy kromě reálných čísel jimi mohou být např. i komplexní čísla.

Soustavu lze popsat i úsporněji, např. ve složkovém zápisu: pro .

Maticová rovnice Koeficienty soustavy bývají obvykle uspořádány do matice:

Tuto matici nazýváme matice soustavy.

Pro neznámé a pravou stranu soustavy se použijí sloupcové vektory

Celou soustavu rovnic je pak lze zapsat s pomocí maticového součinu jedinou rovnicí

neboli

Pro výpočet řešení soustavy lineárních rovnic bývá často využívána tzv. rozšířená matice soustavy

ze které lze zjistit existenci a jednoznačnost řešení, např. Gaussovou eliminační metodou.

Vektorová rovnice Na řešení soustavy lineárních rovnic lze pohlížet i tak, že neznámé jsou koeficienty lineární kombinace, v níž je vektor pravých stran zapsán pomocí sloupcových vektorů koeficientů:

Tento pohled umožňuje uplatnit veškeré nástroje z teorie vektorových prostorů (obecněji modulů). Například množina všech možných lineárních kombinací vektorů na levé straně se nazývá lineární obal a uvedená rovnice má řešení, právě když se vektor pravých stran patří do tohoto obalu.

Homogenní soustava lineárních rovnic Jsou-li všechny absolutní členy soustavy rovny nule, nazývá se soustava homogenní. Homogenní soustavy mají zápis ve tvaru , což v rozvinutém tvaru znamená

neboli pro , Pokud je alespoň jeden z absolutních členů nenulový, jde o nehomogenní soustavu lineárních rovnic.

Každá homogenní soustava má alespoň jedno řešení, označované jako nulové (neboli triviální) řešení, ve kterém je každé neznámé přiřazeno číslo 0. Pokud je matice soustavy regulární, jde o jediné řešení. Je-li naopak singulární, je řešení více.

Množina řešení homogenní soustavy lineárních rovnic má následující vlastnosti:

Jsou-li a jsou dvě řešení, pak jejich vektorový součet je také řešením. Je-li řešení soustavy a je libovolný skalár, pak je také řešením.

Jinými slovy, množina řešení tvoří vektorový prostor nazývaný jádro matice . Jádro se značí (z anglického kernel = jádro). Někdy se též nazývá nulový prostor matice .

Množina řešení náhled|Množina řešení reálné rovnice tvoří přímku s nekonečně mnoha body, zatímco rovnice se stejnými koeficienty nad tělesem má jen pět řešení.

Homogenní soustava lineárních algebraických rovnic má vždy alespoň tzv. triviální řešení, tzn. pro všechna . Množina všech řešení tvoří vektorový prostor.

Při řešení nehomogenní soustavy nad nekonečným tělesem, což jsou například reálná či komplexní čísla, mohou nastat následující případy: soustava nemá řešení soustava má jediné řešení soustava má nekonečně mnoho řešení

Nad konečnými tělesy soustava buď nemá žádné řešení anebo má jen konečně mnoho řešení (počet je přirozenou mocninou počtu prvků tělesa).

Množina všech řešení je buď prázdná anebo tvoří afinní prostor.

Geometrická interpretace vpravo|náhled| Množinou řešení soustavy reálných rovnic a je jediný bod .vpravo|náhled| Množina řešení soustavy dvou rovnic o třech reálných neznámých tvoří zpravidla přímku. Množiny řešení soustav o dvou reálných neznámých lze znázornit v euklidovské rovině v níž osy odpovídají neznámým a . Lineární rovnice odpovídají přímkám (s výjimkou triviálních rovnic se všemi koeficienty nulovými). Protože řešení soustavy musí splňovat všechny rovnice, tvoří množina řešení průnik těchto přímek. Průnikem pak může být buď jediný bod, prázdná množina nebo i přímka – to v případě, že přímky odpovídající rovnicím splývají.

Lineární rovnice o třech reálných neznámých určuje zpravidla rovinu v trojrozměrném afinním prostoru. Množina řešení je pak průsečíkem těchto rovin a může to být buď rovina, přímka, jeden bod nebo prázdná množina. Například různé rovnoběžné roviny v prostoru se neprotínají vůbec.

Obecně máme tuto ("řádkovou") geometrickou interpretaci: Je-li neznámých , pak netriviální lineární rovnice určují nadroviny v -rozměrném afinním prostoru. Množina řešení je průnikem těchto nadrovin a má dimenzi nejvýše (vyjma triviálního případu, kdy matice soustavy je nulová). Obecně tedy platí, že množina všech řešení soustavy lineárních rovnic tvoří afinní prostor anebo je prázdná.

Jiná ("sloupcová") geometrická interpretace řešení soustavy je pomocí zobrazení - hledáme úplný vzor jednobodové množiny v lineárním (nebo afinním) zobrazení n-rozměrného prostoru do m-rozměrného. Ten je buď prázdný anebo tvoří afinní (pod)prostor.

Případy v obecné poloze Podle počtu rovnic a neznámých se rozlišují následující případy: Má-li soustava stejný počet rovnic jako neznámých, bývá její řešení často jednoznačné. Má-li soustava více rovnic než neznámých, nazývá se přeurčená. U soustav s daty z praxe zpravidla nemívá řešení. Má-li soustava méně rovnic než neznámých, nazývá se nedourčená. Řešení je zpravidla více. Soustava nemusí mít řešení, ale řešení nikdy není jednoznačné.

Následující obrázky ilustrují tuto trichotomii v případě dvou neznámých:

{| border=0 cellpadding=5 |- | width="150" align="center" | | width="150" align="center" | | width="150" align="center" | |- |align="center"| Jedna rovnice |align="center"| Dvě rovnice |align="center"| Tři rovnice

První soustava má nekonečně mnoho řešení, jmenovitě všechny body na modré přímce. Druhá soustava má jediné řešení, a to průnik dvou přímek. Ve třetím případě soustava nemá žádné řešení, protože tři zakreslené přímky nemají společný průnik.

Je třeba mít na paměti, že obrázky výše ukazují pouze obvyklý případ, kdy jsou přímky v tzv. obecné poloze. Může se stát, že soustava dvou rovnic o dvou neznámých nemá řešení a to tehdy, jsou-li přímky rovnoběžné. Podobně se u soustavy tří rovnic mohou odpovídající tři přímky protnout ve společném bodě anebo mohou některé přímky splynout.

Formálně řečeno, soustava lineárních rovnic se chová odlišně od uvedených případů v obecné poloze, pokud jsou rovnice lineárně závislé, nebo pokud je soustava nekonzistentní a nemá více rovnic než neznámých.

Vlastnosti

Nezávislost Stane-li se, že některá rovnice soustavy je lineární kombinací ostatních rovnic, pak tato rovnice neklade na řešení soustavy žádné další podmínky, je nadbytečná (nadpočetná), a lze ji ze soustavy rovnic vyloučit aniž by se změnila množina řešení. Tento postup lze opakovat, dokud výsledná soustava rovnic neobsahuje jen lineárně nezávislé rovnice.

Rovnice lineární soustavy jsou lineárně nezávislé, pokud žádnou z nich nelze lineárně odvodit z ostatních.

vpravo|náhled| Rovnice , a jsou lineárně závislé. Například rovnice

a

jsou závislé — jde o stejné rovnice, jen ve druhé jsou všechny koeficienty dvojnásobné. Obě odpovídají téže přímce.

Rovnice soustavy

jsou také závislé, protože třetí rovnice je součtem předchozích dvou. Ve skutečnosti lze kteroukoli z těchto rovnic odvodit z ostatních dvou a kteroukoli z rovnic lze odstranit, aniž by se změnila množina řešení. Odpovídající tři přímky se protínají v jednom bodě.

Konzistence vpravo|náhled| Rovnice a jsou nekonzistentní. Lineárně nezávislé rovnice mohou být vzájemně rozporné, tzn. levou stranu některé z rovnic lze vyjádřit jako lineární kombinaci levých stran ostatních, avšak pravá strana této rovnice není stejnou lineární kombinací pravých stran. Soustavu pak lze upravit ekvivalentními úpravami tak, že bude obsahovat dvě rovnice, jejichž levé strany jsou shodné, avšak pravé strany budou rozdílné. Výsledná soustava je vnitřně rozporná, neboli nekonzistentní a nemá žádné řešení.

V ostatních případech je soustava konzistentní, což platí speciálně pro soustavy, jejichž levé strany jsou lineárně nezávislé.

U nekonzistentních soustav je možné z rovnic odvodit spor, třeba jako výrok .

Například rovnice

a

jsou nekonzistentní. Spor lze získat vydělením jejich rozdílu šesti. Odpovídající přímky jsou rovnoběžné.

Soustava

je nekonzistentní, protože součet prvních dvou je , a následné odečtení třetí dá . Na druhou stranu, jakákoli dvojice z těchto tří rovnic tvoří konzistentní soustavu, čili má řešení. Stejná situace může nastat pro více rovnic a proměnných.

Frobeniova věta

Nehomogenní soustava lineárních algebraických rovnic má řešení, právě když hodnost matice soustavy je rovna hodnosti rozšířené matice soustavy: . V tomto případě je soustava konzistentní. Pokud je hodnost matice rovna počtu neznámých, má soustava jedno řešení; pokud je menší než počet neznámých, je řešení více.

Důsledkem F. v. je, že homogenní systém je vždy řešitelný (rozšířená matice má přidaný nulový vektor). Soustava se čtvercovou regulární maticí rovněž musí mít vždy řešení.

Ekvivalence soustav