Obyčejná lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty, krátce lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty je důležitým typem diferenciálních rovnic, které lze explicitně vyřešit. Obecně má tvar:
kde
jsou konstanty; aby rovnice byla skutečně n-tého řádu, musí být (a bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že ) je nezávislá proměnná, je neznámá funkce proměnné , tj. , jsou derivace funkce až do řádu je libovolná funkce proměnné .
Postup řešení
Při řešení lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty se nejdříve řeší přidružená homogenní rovnice, v níž je nahrazeno nulou; její obecné řešení označíme . Pak je nutné nalézt alespoň jedno partikulární řešení původní rovnice. K tomu je možné použít metodu variace konstant nebo řešení odhadnout podle tvaru funkce . Obecné řešení původní nehomogenní rovnice je pak součet
.
Homogenní rovnice
Homogenní rovnice n-tého řádu má tvar:
Důležitou charakteristikou takovéto rovnice je charakteristická rovnice:
V případě, že má polynom jen jednoduché kořeny , je obecným řešením rovnice:
V případě, že má kořen násobnost k, pak je zřejmé, že uvedené řešení by neobsahovalo dostatečný počet integračních konstant. V tom případě využijeme skutečnosti, že rovnici řeší i tyto lineárně nezávislé funkce:
které ke k-násobnému kořenu poskytují právě k lineárně nezávislých řešení. Obecné řešení (obecný integrál) je pak lineární kombinace uvedených funkcí, pro všechny kořeny s libovolnou násobností. Protože je součet násobností všech kořenů roven n, má výsledné řešení n integračních konstant.
Literatura
Související články
Obyčejná diferenciální rovnice Lineární diferenciální rovnice
Kategorie:Obyčejné diferenciální rovnice