náhled|upright=1.5|vpravo|Vztah si lze snadno zapamatovat jako Pythagorovu větu pro trojúhelník o stranách , a . Ve fyzice je Pythagorova věta o energii vztah mezi energií a hybností částice, který vyplývá ze speciální teorie relativity:
značí celkovou energii částice, je její klidová energie, je velikost hybnosti a je rychlost světla ve vakuu. Klidová energie je přímo úměrná hmotnosti částice podle vztahu .V tomto článku proměnná označuje klidovou hmotnost částice, která nezávisí na volbě vztažné soustavy (na rychlosti částice vůči pozorovateli). V moderních publikacích o fyzice se již nepoužívá koncept tzv. relativistické hmotnosti, která na rychlosti závisí.
Částice s nulovou hmotností Foton a některé další částice mají nulovou klidovou hmotnost. Dosadíme-li do Pythagorovy věty o energii, vztah se výrazně zjednoduší:
Částice tedy nese hybnost, která je přímo úměrná její energii. Další významný důsledek lze nahlédnout, uvážíme-li relativistickou definici hybnosti: Výraz je relativistická hmotnost zmíněná v předchozí poznámce. Zde ji jako hmotnost neoznačujeme, protože nemá přímý fyzikální význam a nepřináší nic nového oproti veličině . kde a jsou vektory hybnosti, resp. rychlosti částice. Dosadíme-li do této rovnice energii , zjistíme, že je splněna pouze tehdy, je-li velikost rychlosti rovna . Jinými slovy částice s nulovou klidovou hmotností se musí vždy vůči libovolnému pozorovateli pohybovat rychlostí .
Částice s nenulovou hmotností Stejně jako v předchozí sekci dosadíme Pythagorovu větu o energii do vztahu pro velikost hybnosti:
Je-li rychlost menší než , můžeme z tohoto vztahu vyjádřit hybnost:
kde je Lorentzův faktor. Hmotná částice se tedy bude pohybovat vždy rychlostí menší než , i když jí dodáme libovolně velkou hybnost.
Na druhou stranu vezmeme-li definici hybnosti a dosadíme do Pythagorovy věty o energii:
můžeme z této rovnice vyjádřit celkovou energii částice:
Opět je vidět, že částice s nenulovou hmotností se bude pohybovat vždy pomaleji než , i když jí dodáme libovolnou energii.
Pokud by se částice nepohybovala, můžeme za hybnost dosadit nulu a vychází nám .
Kinetická energie Kinetická energie je rozdíl mezi energií částice v pohybu a v klidu:
Nemá-li částice klidovou hmotnost (), je . V tomto smyslu je energie částice s nulovou klidovou hmotností „čistě“ kinetická.
Pro částice s je kinetická energie v souladu s předchozími vztahy rovna:
Taylorovým rozvojem tohoto výrazu lze ukázat, že při malých rychlostech dostatečně přesně platí vztah , což souhlasí s klasickou dynamikou popsanou Newtonovými zákony pohybu. Při velkých kinetických energiích se však rychlost pouze blíží a nikdy tuto hranici nepřekročí.
Čtyřhybnost Všechny vztahy ve speciální teorii relativity lze přirozeně zapisovat pomocí čtyřvektorů. Jedním z nejdůležitějších je čtyřhybnost, která spojuje energii a hybnost částice. Vypočteme-li skalární součin tohoto 4-vektoru se sebou samým, obdržíme právě Pythagorovu větu o energii.
Poznámky
Odkazy
Související články Hybnost Čtyřhybnost Čtyřvektor Relativistická hmotnost
Externí odkazy Speciální teorie relativity – přehled základních vztahů na Aldebaran.cz
Kategorie:Relativistická fyzika