Lieova algebra je algebraická struktura, která úzce souvisí s Lieovými grupami a jejich reprezentacemi.
Definice Lieova algebra je algebra, tj. vektorový prostor nad tělesem spolu s bilineárním zobrazením (Lieova závorka) ve tvaru
,
které pro všechna splňuje vlastnosti:
Alternativita, . Jacobiho identita, .
Lze jednoduše z definice ukázat, že alternativita implikuje antikomutativitu, a naopak v případě, že uvažujeme těleso jiné charakteristiky než dva, antikomutativita implikuje alternativitu.
Uvažujme libovolné dva prvky . S využitím bilinearity Lieovy závorky lze psát , z čehož dostáváme antikomutativitu. Naopak stačí uvažovat , z čehož plyne , a tudíž z antikomutativity plyne alternativita.
Jacobiho rovnost s alternativitou zpravidla implikuje neasociativitu, násobení je alespoň flexibilní:
.
Příklady Libovolný vektorový prostor s triviální (nulovou) závorkou: Třírozměrný vektorový prostor s vektorovým součinem:
matice s nulovou stopou a komutátorem antisymetrické reálné matice spolu s komutátorem antihermitovské matice spolu s komutátorem funkce na fázovém prostoru spolu s Poissonovou závorkou vektorová pole na varietě s komutátorem vektorových polí Tečný prostor Lieovy grupy G v jednotkovém prvku spolu se závorkou , kde je derivace zobrazení v . Této Lieově algebře se říká Lieova algebra Lieovy grupy G. V případě maticových grup je pouze tečný prostor G a obyčejný komutátor matic.
Související články Sophus Lie
Kategorie:Teorie Lieových grup