náhled|upright=1.5|vpravo|Grafy normalizovaných gaussovských funkcí s různými parametry Gaussova funkce je reálná funkce jedné reálné proměnné se třemi parametry ve tvaru

Čísla a jsou kladná, je libovolné reálné, je Eulerovo číslo. Graf funkce má v bodě vrchol o výšce , který graf dělí na dvě vzájemně souměrné části – levou rostoucí z 0 a pravou klesající asymptoticky zpět k 0. Parametr určuje šířku „zvonu“ ve výšce . V polovině výšky má graf šířku . Jejím grafem je zvonová křivka, též zvaná Gaussova křivka. Její primitivní funkcí je chybová funkce.

Gaussova funkce je široce využívaná ve statistice a teorii pravděpodobnosti (normální rozdělení); v teorii signálů (Gaussův filtr pro rozostření obrazu). Je taky řešením diferenciálních rovnic týkajících se difuze a vedení tepla. Dalším použitím je Weierstrassova integrální transformace. Je pojmenovaná po matematikovi Carlu Friedrichu Gaussovi.

Normalizované funkce Gaussova funkce se velmi často používá ve významu hustoty pravděpodobnosti. V takovém případě musí být její integrál (plocha pod grafem) přes celý definiční obor roven 1, což představuje pravděpodobnost jistého jevu.

Tuto normalizační podmínku lze splnit vhodnou volbou konstanty . Nejjednodušší gaussovskou funkcí je , jejíž integrál je roven (viz Gaussův integrál), takže její normalizovaná verze musí mít tvar

Parametr pouze posouvá graf podél osy , takže nemá vliv na hodnotu integrálu. Parametr graf rozšiřuje a integrál se přitom násobí číslem . Obecná normalizovaná Gaussova funkce tedy musí mít tvar

Parametr má v tomto případě význam střední hodnoty náhodné veličiny a parametr je směrodatná odchylka.

Fourierova transformace Z matematického a fyzikálního hlediska jsou Gaussovy funkce významné také tím, že při je Fourierovým obrazem funkce opět Gaussova funkce, obecně s jinými parametry.

Je-li navíc , je Gaussova funkce obrazem sama sebe (), takže představuje pevný bod Fourierovy transformace. Ze všech normalizovaných funkcí má tuto vlastnost pouze jediná:

Odkazy

Reference

Související články Normální rozdělení Pravidlo tří sigma

Externí odkazy

Kategorie:Matematické funkce Kategorie:Pravděpodobnost a statistika