Pseudo-Riemannovská varieta je diferencovatelná varieta vybavená symetrickým nedegenerovaným metrickým tenzorem, který nemusí být pozitivně definitní.
Pseudo-Riemannovská varieta představuje zobecnění Riemannovské variety, u níž je metrický tenzor pozitivně definitní.
Na rozdíl od Riemannovské variety může metrika nabývat kladných, záporných i nulových hodnot. Díky tomu lze na varietě rozlišovat časové, prostorové a nulové směry.
Pseudo-Riemannovské variety představují základní geometrický model časoprostoru v obecné teorii relativity.
Definice Pseudo-Riemannovská varieta je dvojice
kde je diferencovatelná varieta a je metrický tenzor, tj. symetrická nedegenerovaná bilineární forma definovaná na každém tečném prostoru , která se s bodem mění hladce.
Na rozdíl od Riemannovské variety není požadováno, aby byl metrický tenzor pozitivně definitní.
Vlastnosti metrický tenzor může mít libovolnou signaturu, lze definovat délku křivek, geodetiky a křivost, existuje jednoznačná Levi-Civitova konexe, Riemannovská varieta je speciálním případem pseudo-Riemannovské variety s pozitivně definitní metrikou.
Lorentzova varieta Lorentzova varieta je pseudo-Riemannovská varieta se signaturou
nebo ekvivalentně
Každý tečný prostor Lorentzovy variety je lokálně izomorfní s Minkowského prostorem odpovídající dimenze.
Ve čtyřrozměrném případě představuje geometrický model časoprostoru v obecné teorii relativity.
Tečné prostory a metrika Metrický tenzor přiřazuje každé dvojici tečných vektorů v témže bodě variety reálné číslo a zobecňuje pojem skalárního součinu.
Označíme-li metrický tenzor , pak na každém tečném prostoru definuje bilineární zobrazení
Na rozdíl od Riemannovské variety nemusí být tento skalární součin kladně definitní.
Každý tečný prostor pseudo-Riemannovské variety je proto vybaven nedegenerovanou symetrickou bilineární formou a tvoří pseudo-euklidovský vektorový prostor.
Vektory lze podle znaménka hodnoty výrahzu
rozdělit na časové, prostorové a nulové. Toto rozdělení určuje kauzální strukturu variety.
Použití ve fyzice Pseudo-Riemannovské variety nacházejí uplatnění především v teorii relativity. Minkowského časoprostor speciální teorie relativity i zakřivené časoprostory obecné teorie relativity jsou modelovány jako Lorentzovy variety.
Metrický tenzor zde určuje měření časových intervalů, vzdáleností a pohyb volných částic po geodetikách v časoprostoru.
Odkazy
Reference
Související články Obecná teorie relativity Metrický tenzor
Kategorie:Diferenciální geometrie Kategorie:Riemannova geometrie Kategorie:Obecná teorie relativity