Koncept faktoralgebry je vyrobit z nosné množiny původní algebry hrubší objekt se stejnou strukturou. Formálně faktoralgebru tvoří vhodná ekvivalence na nosné množině algebry , nosná množina faktoralgebry se pak bude skládat z bloků ekvivalence .
Faktoralgebry odpovídají homomorfním obrazům algeber a jsou zobecněním faktorgrupy a faktorokruhu.
Definice Nechť je algebra. Ekvivalence na se nazývá kongruence algebry pokud:
Pro každou operaci a platí
Operace faktoralgebry pak definujeme na blocích ekvivalence takto:
Pro každé a je
Jinak řečeno, prvky bloku ekvivalence jsou z hlediska operací zaměnitelné. Proto si také můžeme z každého bloku zvolit reprezentanta, tím dostaneme množinu reprezentantů, která je izomorfní nosné množině faktoralgebry.
Vlastnosti
Faktoralgebra má stejnou signaturu jako původní algebra. Kongruence algebry je ekvivalence respektující strukturu algebry. Každá algebra ma alespoň dvě nevlastní faktoralgebry definovány kongruencemi:
Tedy ekvivalencí rovnosti a ekvivalencí všech prvků algebry.
Příklady Uvažujme relaci v grupě celých čísel . Ta má zřejmě dva bloky ekvivalence a to sudá a lichá čísla. Nyní je třeba ověřit, že její operace splňují definici faktorgupy. Tedy že:
pro operaci sčítání : platí pro operaci inverze : platí konstantni prvek (operace arity 0) se zobrazí na konstantní prvek (je splněno vždy).
Což jde jednoduše ověřit. Například pro operaci sčítání máme čtyři možnosti je buď sudé, nebo liché a stejně tak .
Nosnou množinu faktorgrupy reprezentovat například jako , neboť je reprezentantem sudých čísel a je reprezentantem čísel lichých.
Mějme grupu permutací na prvcích a relaci ekvivalence . Tedy dvě permutace jsou ekvivalentní, pokud mají stejné znaménko. Pak faktoralgebra bude izomorfní s faktoralgebrou v předchozím případě. (Stačí si uvědomit, že inverzní permutace má stejné znaménko, složení permutací má znaménko a nulovým prvkem, je identita.)
Věta o izomorfismu
Je-li homomorfismus algeber, pak platí .
Tedy algebra určená rozkladem nosné množiny algebry podle jádra homomorfismu je isomorfní s obrazem homomorfismu .
Myšlenka důkazu: Je li homomorfismus pak jádro zobrazení je kongruence algebry . Je li homomorfismus a kongruence na taková, že , pak je zobrazení je homomorfismus. Pak je prostý a na a je tedy izomorfismem.
Každá kongruence na algebře je tedy jádrem vhodného homomorfismu, ten můžeme sestrojit jako zobrazení z , tedy .
Naopak každé jádro homomorfismu je kongruence .
Dále pak každá faktoralgebra odpovídá obrazu homomorfismu, tedy pro .
A naopak projekce je homomorfismem pro kongruenci na algebře .
Příklad
V předchozím případě bychom mohli zvolit homomorfismus zobrazující sudá čísla na prvek a lichá čísla na prvek , příslušné operace by byly zadefinovány takto:
Operace
+ 0 1 0 0 1 1 1 0
Operace
-0 = 0, -1 = 1
Operace
Konstanta 0 se zobrazí na 0.
Pak jádro homomorfismu bude relace ekvivalence rozdělená na blok sudých a blok lichých čísel a faktoralgebra podle jádra zobrazení bude izomorfní s algebrou určenou obrazem homomorfismu.
Literatura
Související články Kongruence Faktorgrupa Faktorokruh Varieta algeber
Kategorie:Algebra