Akce grupy na množině je jisté zobrazení mezi množinou a grupou (definované níže) s odpovídajícími vlastnostmi. Má spojitost např. se studiem automorfismů či charakteristických podgrup.
Definice Nechť je grupa a neprázdná množina. Zobrazení nazveme akcí grupy na množině (také působením na ) jestliže: pro všechna pro všechna (kde je neutrální prvek )
Jinak řečeno prvek působí na stejně, jako působí na .
Reprezentace permutacemi Nechť působí na a pro pevně zvolené označme zobrazení dané předpisem . Pak platí: pro libovolné je permutace na množině , zobrazení dané vztahem , je homomorfismus grup.
Zobrazení se nazývá reprezentace permutacemi odpovídající dané akce grupy na množině .
Akce grupy na se nazývá triviální, resp. věrnou, jestliže , resp. reprezentace permutacemi odpovídající této akci je injektivní zobrazení.
Stabilizátor prvku a jádro akce
Je-li pevně zvolen prvek , pak množinu nazýváme stabilizátor prvku . Stabilizátor prvku tvoří podgrupu grupy G.
Jádro akce grupy na množině se nazývá množina . Tato množina se rovná jádru homomorfismu .
Platí, že jádro akce je průnikem všech stabilizátorů (symbolicky ) a jádro akce je dokonce normální podgrupa této grupy.
Orbita prvku Množina se nazývá orbita prvku .
Akce grupy G se nazývá tranzitivní, jestliže má právě jednu orbitu (tj. ).
Působí-li grupa G na konečné množině A, pak platí, že .
Tranzitivní akce a homogenní prostor Říkáme, že grupa má na tranzitivní akci, pokud pro každé existuje takové, že .
Ekvivalentně, akce je tranzitivní pokud pro jedno pevné a každé existuje takové, že a má tedy jenom jednu orbitu.
Pokud má na množině tranzitivní akci, můžeme množinu reprezentovat jako homogenní prostor
kde je stabilizátor jednoho prvku a je množina levých rozkladových tříd. Identifikace je a je jednoznačná,neboť Díky tranzitivní akci existuje pro každé příslušné Pokud tak , tedy a . Zobrazení je tedy bijekce.
Reprezentace množiny jako levých rozkladových tříd se nazývá v geometrii homogenní prostor a tvoří základ tzv. Kleinovy geometrie. Například eukleidovské geometrii jsou vlastní eukleidovská grupa Euc(n) všech shodností (rotací, zrcadlení a posunutí). Tato grupa má na eukleidovském prostoru tranzitivní akci a stabilizátorem libovolného pevně daného bodu je ortogonální grupa O(n) všech otočení a zrcadlení takových, které bod zachovávají. Eukleidovský prostor dimenze tedy můžeme reprezentovat jako
Odkazy
Související články Cayleyova věta Grupa Množina
Externí odkazy
Kategorie:Algebra Kategorie:Teorie grup