Topologická dimenze (též Lebesguova pokrývací dimenze) topologického prostoru je přirozené číslo, které prostor charakterizuje a které v běžných případech intuitivně odpovídá jiným definicím dimenze. Topologická dimenze n-rozměrného Euklidova prostoru je n, a podobně topologická dimenze n-rozměrné variety je n. U fraktálů se ale topologická dimenze obvykle liší od Hausdorffovy dimenze, která nemusí být celočíselná. První formální definici topologické dimenze zavedl český matematik Eduard Čech na základě dřívějších výsledků Henri Lebesguea.
Definice Topologická dimenze neprázdného topologického prostoru X je nejmenší nezáporné celé číslo n, pro které platí následující vlastnost: každé konečné otevřené pokrytí X má konečné otevřené zjemnění takové, že každý bod X je obsažen v průniku nejvíce n+1 množin tohoto zjemnění. Následují definice použitých pojmů:
Topologie je podmnožina potenční množiny (množiny všech podmnožin) nějakého prostoru, která obsahuje s každými dvěma množinami i jejich průnik a sjednocení a obsahuje prázdnou množinu a celý prostor. Prostor spolu s jeho topologií pak nazveme topologický prostor. Prvky této topologie nazveme otevřené podmnožiny. Je-li prostor vybaven i délkou, obvykle jim odpovídají množiny, které s každým svým bodem obsahují i nějaké okolí, tj. pro jejichž každý bod existuje kladná vzdálenost taková, že všechny bližší body také náleží do této množiny.
Posloupnost nazveme pokrytí pokud , kde je indexová množina.
Posloupnost nazveme zjemnění předchozího pokrytí, pokud je samo o sobě pokrytím prostoru a současně platí .
Neformální rozbor Jedná se o poměrně obecnou matematickou konstrukci. Nevyžaduje aby měl prostor míru ani nevyužívá poměrně intuitivní avšak také dost zjednodušenou představu dimenze coby počtu potřebných souřadných os.
Uvažme nějaké části prostoru, které jsou útvary příslušné dimenze (tj. např. mají objem, pokud se jedná o trojrozměrný prostor v němž žijeme). Pokud spolu dvě hraničí, jejich hranice pak bude mít typicky dimenzi o jedna menší. Přidáme-li další tak, že mají společné trojmezí (tedy hranice hranic) bude menší o dva atd.. K bodu tedy typicky dospějeme, když spolu bude hraničit o jedna víc částí prostoru než je jeho dimenze. Přesněji lze říci, že jej určitě nezískáme dříve, může se však stát, že je i sousedstvím více částí prostoru, např. v trojrozměrné krychlové síti se vyskytují body v sousedství osmi krychlí, ačkoli dle předložené úvahy se očekávají jen čtyři.
Může působit cyklicky, že mluvíme o částech prostoru se stejnou dimenzí (kterou ale právě zavádíme). Proto v definice vystupují otevřené podmnožiny. Požadavek aby s každým svým bodem obsahovaly i nějaké okolí jim brání mít menší dimenzi a poměrně intuitivně větší. Potřebujeme pak zaručit, že se opravdu „dotýkají”, což se formálně zajistí požadavkem, že prostor vyplňují a jedná se tedy o pokrytí.
V této úvaze ovšem využíváme hraničení, což je nepraktické, zejména protože topologie zakládá úvahy na otevřených podmnožinách, které v sobě svoji hranici neobsahují. Mohli bychom tedy mluvit o limitně malých překryvech, ovšem nemáme zde žádnou míru. Naštěstí je situace dost obecná, takže stačí když můžeme překryvy zmenšit jen natolik, aby do daného bodu zasahoval jen nezbytný počet krycích množin. Proto formálně zavádíme zjemnění pokrytí, tedy zúžení pokrývajících množin, takové, že prostor stále pokrývají.
Značná část věcí, které zde vypadají nedostatečně se v definici napraví vhodnými kvantifikátory.
Kategorie:Topologie