Sobolevův prostor je v matematice normovaný vektorový prostor funkcí s normou, která je kombinací Lp-normy funkce a jejích derivací. Je pojmenován po Sergeji Sobolevovi.
Sobolevovy prostory s celočíselnou derivací
Definice Sobolevův prostor Wk,p(Ω) je množina všech funkcí u ∈ Lp(Ω) tak, že pro každý multi-index α s |α| ≤ k leží slabá parciální derivace v Lp(Ω), tj.
kde Ω je otevřena množina v Rn a 1 ≤ p ≤ +∞. Přirozené číslo k se nazývá řád Sobolevova prostoru Wk,p(Ω).
Existuje mnoho možností jak na prostoru Wk,p(Ω) definovat normu, tedy, jak z něj vytvořit Banachův prostor. Následující dvě definice zavádějí dvě různé, ovšem navzájem ekvivalentní normy:
a
Pro p < +∞ je Banachův prostor Wk,p(Ω) s takto zavedenými normami dokonce separabilní.
Na prostoru Wk,2(Ω) vybaveném normou lze navíc zavést skalární součin, který tuto normu indukuje, čímž se z něj stane Hilbertův prostor. Tento prostor se pak místo Wk,2(Ω) značí Hk(Ω).
Sobolevovy prostory s neceločíselnou derivací
Besselovy potenciální prostory Pokud , Besselův prostor Hs,p(Rn) je dobře definován pro každé reálné číslo s předpisem
s normou
.
Besselovy potenciální prostory jsou Banachovými prostory a v speciálním případě p = 2 dokonce Hilbertovými prostory. Pojem Besselova prostoru je zobecnění pojmu Sobolevova prostoru v tom smyslu, že pro přirozené k platí Hk,p(Rn)=Wk,p(Rn) s ekvivalentními normami. Navíc platí řetěz vnoření
Sobolev-Slobodeckého prostory Další způsob definovat Sobolevovy prostory s neceločíselnou derivací používá nápad zobecnění Hölderovy spojitostí do Lebesgueových prostorů. Je-li Ω otevřená množina Rn, , θ ∈ (0,1) a f ∈ Lp(Ω), pak Slobodeckého seminorma je definována předpisem
.
Je-li neceločíselné, Sobolev-Slobodeckého prostor Ws, p(Ω) je dobře definován předpisem ,
kde . Je Banachovým prostorem s normou
.
I v případě Sobolev-Slobodeckého prostorů platí řetěz vnoření
.
Reference
Literatura . .
. . . . ; translation of Mat. Sb. , 4 (1938) pp. 471–497. . . . .
Kategorie:Matematická analýza